III.
Egyetemes tömegvonzás.
17. A testek tömege. – Newton törvénye.
A tömeg szó lelkünkben többféle fogalmat kelt s ezért, mielőtt tovább mennénk, czélszerű e fogalmat tisztáznunk.
Ha minden test ugyanolyan halmazállapotú, egységes anyagból épülne föl, akkor a testek tömege arányos volna térfogatukkal. De a természetben található különféle testek éppen nem ilyenek, ezért a tömeg szónak mechánikai értelmét kell keresnünk.
Tudjuk, hogy ha állandó erő hat egy testre, egyenletesen gyorsuló mozgást kölcsönöz neki, vagyis olyant, hogy az a mennyiség, a melylyel a mozgás sebessége másodperczenként változik, állandó marad; ezt a mennyiséget γ-val jelöljük és a mozgás gyorsulásának nevezzük.
Gondoljunk valamely testet, a melyre bizonyos F erő hat; ez a test γ gyorsulású mozgásba jön; ha reá egy másik, az előbbi F erőnél nagyobb F' erő hatna, akkor a test mozgásának gyorsulása is γ-nál nagyobb γ' lenne. Egy harmadik F'' erő a testben γ'' gyorsulást okozna és így tovább.
Ha meghatároztuk az F, F', F'' erőket és gondosan megmértük a hozzájuk tartozó γ, γ', γ'' gyorsulásokat, akkor azt tapasztaljuk, hogy érvényes lesz a következő egyenlőség:
Az erők arányosak azzal a gyorsulással, a melyet ugyanannak a testnek mozgásában előidéznek.
Tehát állandó viszony van az erő és a gyorsulás közt, a
15
melyet az erő valamely testben előidéz. Ez az állandó viszony a test tömege.
Ennek következtében írható:
vagy:
F = mγ (1)
az erőt tehát a test tömegének és az erő előidézte gyorsulásnak szorzata fejezi ki.
Newton törvénye. Ezt előrebocsátva, közöljük azt a törvényt, a melyet legelőször NEWTON mondott ki és a mely igen egyszerű alakban összegezi azoknak az erőknek természetét és nagyságát, a melyek a térben elhelyezett testek közt nyílvánúlnak.
Két test egymást olyan erővel vonzza, a mely egyenes arányban van tömegükkel és fordított arányban távolságuk négyzetevel.
A mi azt fejezi ki, hogy ha gondolunk két m és m' tömegű testet, a melyeket r távolság választ el egymástól, akkor e két test közt f vonzóerő működik, a melynek nagyságát a következő kifejezés adja meg:
K állandó szám, együttható, a melyet kísérlettel határozunk meg és a melyet a vonzás állandójának (gravitáczió-állandónak) nevezünk. K értékét a czentiméter, gramm és másodpercz (C. G. S.) rendszerben igen kicsiny szám fejezi ki:
vagy rövidebben:
K = 6,5·10–8
Látni fogjuk később, hogy minő kísérleti módszerekkel határozhatjuk meg ezt az alapvető fontosságú számértéket.
18. A K együttható természettani jelentése.
A K együttható nem valami elvont szám, természettani jelentősége is van, a melyre rámutatni helyénvaló.
16
Az 1. képletben föltehetjük, hogy m és m' egységnyi tömegeket jelentenek; föltehetjük, hogy az r távolság az egységnyi hosszúság. E föltételek szerint m=m'=1 és r=1 és a képlet a következő lesz:
i = K
tehát a vonzás K állandója az az erő, a melylyel két, az egység-távolságban levő tömegegység egymást vonzza.
Ha az m és m' tömegeket grammban, az r távolságot czentiméterben fejezzük ki, akkor az f erő din-ben*) adódik meg.
19. Newton törvénye Kepler törvényeiből folyik.
Az egyetemes vonzás törvénye nem olyan új törvény, a melyet KEPLER törvényeihez még hozzá kellene adni; e törvények egymással összefüggésben vannak; ugyanis KEPLER törvényeiből kiindulva, mint szükségszerű következményt vezethetjük le.*)
A din a C. G. S. egységrendszer erőegysége, tehát az az erő, a mely egy gramm tömeggel másodperczenkint egy czentiméter [!] gyorsulást közöl. Ez az erő nagyon kicsiny: 1 gramm súlynak 1/981 része, tehát körülbelül 1 milligramm súly. Láthatjuk tehát, Hogy a K együttható is igen kis erő.
*) E dolognak egyszerű bizonyítását adjuk; de előbb az olvasó emlékezetébe hozzuk az egyenletes körmozgás némely tulajdonságát.
11. rajz. |
a) Egyenletes körmozgás. Gondoljunk (l. 11. rajz) egyenletes sebességgel mozgó M testet R sugarú körpályán. Ezt az esetet előállíthatjuk úgy, hogy az M testet kinyujthatatlan szállal az O rögzített ponthoz kapcsoljuk és feltesszük, hogy a mozgó test kezdetben MN irányú v sebességet kapott.
Egy kis t idő mulva az M mozgó test M'-be jut és leírja az MM' körívet, mely, ha igen kicsiny, a köriv húrjával esik össze. Minthogy a mozgó test ebben az útjában nem követte a kezdeti MN irányt, egy, a középpont felé ható φ erőnek kellett hatnia, a melynek következtében az MP utat kellett volna megfutnia az alatt, míg a kezdeti sebesség miatt az MH úton futott volna.
Föltehetjük, hogy a t igen kis idő alatt a φ erő nagysága és iránya állandó; tehát t idő alatt a mozgó M testtel egyenletesen gyorsuló mozgást közöl, melynek gyorsulása γ; az egyenletesen gyorsuló mozgás törvénye szerint:
Másrészt az MN irányú lökés okozta egyenletes mozgás következtében t idő alatt MH lenne a befutott út:
MH = vt (2)
De az elemi geométriából tudjuk, hogy
M'P2 = PQ×PM
17
vagy M'P helyett a vele egyenlő MH-t téve
MH2 = PQ×PM
PQ=2R–PM. A t időt olyan kicsinynek tettük föl, hogy MM' ív a húrjával cserélhető fel; e föltétel szerint PM-et elhanyagolhatjuk R-rel szemben és PQ-t e szerint 2R-rel vehetjük egyenlőnek; így tehát
MH2 = 2R×PM;
tegyük ez egyenletbe PM és MH-nak 1 és 2 képlet szerinti értékét, akkor:
a honnan
γ czentiméterben van kifejezve; ez a testre ható φ erő okozta gyorsulás. Hogy ezt az erőt dinben fejezzük ki, γ-t meg kell szoroznunk a mozgó test m tömegével és így
Tehát a forgás tartama alatt a szál az M testet Mv2/R erővel huzza, melyet középpont felé tartó, czentripetális erőnek nevezünk. A szál tehát megfeszül; ennek következtében az M test ellenkező irányban húzza φ erővel, mely egyenlő és ellenkező értelmű a φ' erővel és a melyet középpontfutó, czentrifugális erőnek nevezünk. Ennek nagyságát szintén a 4. képlet fejezi ki.
Jelöljük T-vel azt az időt, a mely alatt az M test az egész kört v egyenletes sebességgel megfutja; ekkor
2πR = vT,
a honnan
18
helyettesítsük be a 3. képletbe v-nek ezt az értékét, akkor a czentrifugális gyorsulás kifejezése a következő:
és a 4. képlet tekintetbe vételével a φ czentrifugális erő értéke
Ez a kifejezése ennek az erőnek, a mely magának a forgásnak következménye és a melynek természetét és nagyságát számos természettani kísérlettel lehet igazolni.
b) Newton törvényének bebizonyítása. Legyen S (12. rajz) a Nap középpontja és A egy bolygóé valamely pillanatban. Ez a bolygó a t igen kis idő alatt az AB ívet írja le és ha más ok nem működnék közre, a következő t idő alatt az AB-vel egyenlő BC ívet írná le a mely az előbbi meghosszabbítása. De KEPLER első törvénye szerint a pálya görbe vonalú; s ezért a bolygó a BD utat írja le.
12. rajz.
Minthogy így eltér a BC iránytól, minden pillanatban valami eltérítő erőnek kell hatni reá. Keressük mindenek előtt ennek az erőnek az irányát.
KEPLER második törvénye azt mondja, hogy
SAB terület = SBD területtel,
mivel e két háromszög a Napból a bolygóhoz érő sugárnak egyenlő t időközökben súrolt területe; másrészt az SAB és SBC háromszögek egyenlők, mert alapjuk egyenlő és egy egyenesben fekszik, S csúcsuk közös, tehát magasságuk is egyenlő. Tehát:
SBD = SAB = SBC
a miből az következik, hogy SBD és SBC háromszögek egyenlők; de közös SB alapjuk lévén, a C és D csúcspontoknak az alappal párhuzamos CM vonalon kell feküdniök, mert csak így lehet ugyanaz a magasságuk.
Szerkesszük meg a BCDE parallelogrammot; akkor, hogy a bolygó a BC út helyett a BD útat fussa meg, kettős hatásnak kell reá működnie, még pedig a kezdeti sebességnek, mely B-től C-ig vinné és egy erőnek, a mely vele
19
a BE útat futtatná meg. Ez az erő tehát a Nap felé irányul. NEWTON ezt az erőt vonzásnak nevezi.
Minthogy a bolygók leírta ellipszis mindig kevéssé tér el a körtől, ebben az elemi bizonyításban megközelítően föltehetjük, hogy pályájuk kör. Akkor a sugaraktó] egyenlő időközökben befutott terület egyenlő lévén (2-ik törvény), az ívek is egyenlők és arra az esetre megyünk vissza, a melyet éppen tanulmányoztunk: az egyenletes körmozgás esetére. A vonzás ebben az esetben nem más, mint a czentripetális erő, a melynek T gyorsulását az (5) képlet adja:
hol R a bolygó távolsága a Naptól, T a körfutás időtartama.
KEPLER harmadik törvénye segítségével meghatározhatjuk a vonzó erő nagyságát.
E harmadik törvény szerint a T2 és R2 viszonya állandó mennyiség minden bolygóra nézve. Jelöljük B-vel ezt az állandót, akkor
Szorozzuk ezt a kifejezést az előbbivel, akkor:
a honnan
Ha a mozgató f erő értékét akarjuk megkapni, akkor a T gyorsulás értékét meg kell szoroznunk (17. §) a bolygó m tömegével; akkor azt kapjuk, hogy:
és mivel a γ gyorsulás a Nap összes tömegelemei vonzásának összege, tehát γ arányos e csillag M tömegével.
Mint látjuk, γ értékének a nevezőjében a távolság, R2 van; a 4π2/B állandó; tehát ennek az állandónak a Nap M tömegét, mint szorzót kell tartalmaznia; ha most K-val jelölünk egy együtthatót, akkor
és az f erő, mely mγ-val egyenlő, végső kifejezésben a következő:
vagyis az az erő, mely a Nap és valamely bolygó közt hat, egyenes arányban van a két test tömegével és fordított arányban távolságuk négyzetével.
Ez NEWTON törvénye. Föntebb láttuk a K együttható természettani jelentését.
20
20. A vonzás középpontja.
Az előzőkben föltettük, hogy az egymásra ható tömegek mértani középpontjukban vannak összeszorítva. Valóságban nincs így a dolog és minden testnek határozott kiterjedése van.
De a két pontra vonatkozó vonzás elvéből számítással lehozható ama vonzás iránya és nagysága is, mely véges kiterjedésű két test között hat.
Ha két test van szemben egymással, az egyik test valamely részecskéje a másik test összes részecskéit vonzza és e részecskék viszont az előbbit vonzzák. Mind ezek az elemi vonzások egymáshoz különbözően hajló egyenesekben hatnak.
De az elméleti mechánikában bebizonyítják, hogy minden testben van egy pont, melyet, ha a másik test megfelelő pontjával összekötünk, a vonzás eredője ebbe az egyenesbe esik, mintha mindkét test tömege abban a két pontban volna összepontosulva, a melyek az elemi vonzások középpontját alkotják.
Midőn a véges távolságban elhelyezett testek akár távolságukat, akár elhelyezkedésüket megváltoztatják e középpontok áthelyeződnek és a megfelelő testek belsejében helyük megváltozik.
De ha a két egymást vonzó test távolsága méretükhöz képest igen nagy, mindenik középpont bizonyos meghatározott, mindenik testre állandó helyzetben marad, melyet súlypontnak nevezünk és a mely független a test elhelyezkedésétől.
Éppen így van a dolog a bolygók és a Nap esetében: e csillagok közötti roppant távolságok egyszerűsítik a vonzás kiszámítását és megengedik azt a föltevést, hogy egész tömegük a középpontjukban összepontosul.
De ez az egyszerűsítés nincs megengedve, ha a távolságok nem nagyon jelentékenyek: pl. a Föld és a Hold esetében, a melyeknek távolsága a Föld sugarának csak 60-szorosa. Ha a Föld nem szigorúan véve gömb, a belőle eredő szabálytalanság módosítja a Hold mozgását és megzavarja szabályosságát; sőt ez módot nyujtott arra, hogy a Föld ellapulásának megközelítő értékét kiszámítsák, melyet a Hold mozgásában észlelt szabálytalanságokból hoztak le.
21. A gömbalakú tömegek vonzása.
Ha a két egymást vonzó test pontosan gömbalakú, akkor a vonzásnak különleges esetével van dolgunk, és a számítás lényegesen egyszerűsül.
Gondoljunk egy vonzó tömeget, a mely gömbalakú, egyenlő
21
vastag rétegben rakódott össze. A mechánikában bebizonyítva találjuk a következő két fontos tételt:
1. Egynemű gömbhéj vonzása valamely kívül eső pontra ugyanaz, mintha a gömbhéj összes tömege a gömb középpontjában volna elhelyezve.
2. Az egynemű gömbhéj vonzó ereje a gömbhéjon belül fekvő pontra zérus.
Ezzel azt akarjuk mondani, hogy ha több egyközepű gömbréteget gondolunk és rajtuk kívül egy A pontot (13. rajz),
13. rajz.
|
akkor ezt a gömbrétegek úgy vonzzák, mintha mind az 1., mind a 2. réteg tömege az O középpontban volna konczentrálva.
Valamely, a két réteg közt levő B pontra csak az 1. rétegnek van hatása oly módon, mintha tömege az O pontban volna elhelyezve, míg a 2. rétegnek, mivel a pont e rétegen belül van, nincs hatása.
Végül a két rétegen belül fekvő C pontra egyik réteg sem gyakorol vonzást.
Ebből következik, hogy két gömbalakú golyó vonzását mindig kiszámíthatjuk, ha meghatározzuk tömegüket és középpontjuk távolságát.
22. Nehézkedés a Föld felszinén. A függőleges irány.
Minthogy az előző tétel szerint az egynemű gömbhéjakon kívül fekvő pontra gyakorolt vonzás olyan, mintha a gömbhéjak tömege a középpontjukban volna egyesítve, a Föld felszinén levő pontot a Föld a középpontja felé vonzza.
A tapasztalat is bizonyítja ezt; minden szabadjára hagyott test a Föld középpontja felé esik, minthogy e középpont a NEWTON törvénye szerint vonzza. Ha a testet esésében meg akarjuk akadályozni és valamely rögzített pontra erősített szálhoz kötjük, a vonzott testtől kifeszített szál iránya a Föld középpontja felé tart; ez irányt a kísérleti hely függőlegesének mondjuk s a Föld vonzását nehézkedésnek nevezzük.*)
*) Szigorúan véve a test súlya az a nyomó erő, a melyet a test valamely közegben, rendesen levegőben, kifejt. Helyesebben légüres térben kellene mérnünk és az ott gyakorolt nyomó erőt nevezzük "nehézségnek".
22
Minthogy ebben az esetben a test fölötte nagy távolságban van a Föld középpontjától, a szál iránya a fölfüggesztett test súlypontján is keresztülmegy; ezen az elven alapszik a szabálytalan alakú testek súlypontjának meghatározása tapasztalati úton, melynek iskolai módszerét a fizikai tankönyvekben olvashatjuk.
Ugyanazon a helyen, két szomszédos függőleges oly kis szöget alkot, hogy őket párhuzamosoknak vehetjük; sőt a Föld középpontjának vonzása két szomszédos pontra egyenlő, ha a két pont magasságkülönbsége a felszín felett nem nagy. Ekkor úgy tekinthetjük őket, mintha a középponttól egyenlő távolságra lennének és a Föld vonzása tömegegységenként mindkét testre ugyanaz. Ezt így fejezhetjük ki: ugyanazon a helyen a nehézkedés nagyság és irány szerint állandó erő. De ez, mint látjuk, csak közelítő állítás, mely bár a gyakorlati életnek megfelel, éppen nem szigorú pontosságú.
23. A testek esésének törvénye.
Az elmondottak szerint, ha a nehézkedés hatását csekély magasságról szabadon eső testen tanulmányozzuk, a nehézkedést ily körülmények közt eléggé állandó erőnek vehetjük.
De tudjuk, hogy valamely testre ható állandó erő egyenletesen gyorsuló mozgást kölcsönöz neki.
A testek eséstörvénye tehát az egyenletesen gyorsuló mozgás törvénye, vagyis ha g-vel jelöljük a nehézségi erő gyorsulását, t idő mulva a sebesség lesz:
v = gt
és a megfutott út:
A g értéke Budapesten:
g = 980.8 czentiméter,
vagyis a csekély magasságról leeső test sebessége Budapesten 980.8 czentiméterrel növekedik másodperczenkint.
24. A test tömegének és súlyának összefüggése.
E fejezet kezdetén láttuk, hogy valamely testre egymásután ható erők arányosak a vele közölt gyorsulásokkal és hogy az erő és gyorsulás közt levő állandó viszonyt a test tömegének nevezzük.
23
A testre ható erők között gondolhatjuk a nehézséget is. A Föld középpontjának valamely test minden elemére gyakorolt vonzása eredőjét súly-nak nevezzük és ennek az eredőnek támadó pontja a súlypont.*)
Legyen p a test súlya, m a tömege, és legyen g a kísérlet helyén a nehézkedés gyorsulása (Budapesten g=980.8 cm.); akkor
honnan
p = mg.
Láthatjuk ezekből, hogy ha a tömeg gramm-ban van kifejezve, egy gramm tömegnek a súlya egyenlő 980.8 erőegységgel, vagyis 980.8 din-nel. Egy din tehát egy gramm súlyának 1/980.8 részével egyenlő.
25. Az egyetemes vonzás és a nehézkedés azonossága. A nehézkedés tüneménye, a melyet a földgömb fölszinén észlelünk, csak egyik különös esete annak az általános tüneménynek, a mely a világegyetemben NEWTON törvénye értelmében megnyilvánul.
Több módon kimutathatjuk, hogy a kétféle tünemény egymással föltétlenül azonos; például gyakran a Holdmozgás állandóinak kiszámítását használják e czélra; mi azonban itt csakis egyetlen, egy jó mérleggel könnyen megvalósítható bizonyítást mutatunk be, melyet először JOLLY német természettudós adott. Íme e kísérlet alapelve.
|
14. rajz.
|
Gondoljunk (14. rajz) egy p súlyú, m tömegű A testet a Föld felszinén; a súlyát pontos mérleggel meghatározhatjuk.
Vigyük ezt a testet egy magasabb B helyre oly módon, hogy h magassággal emeljük eredeti helyzete fölé; e második helyzetben a test távolabb van a Föld középpontjától; itt a vonzóerőnek,
*) Az imént elmondottak kizárólag nyugvó, gömbalakú és tengelye körül nem forgó, tehát ideális Földre érvényesek. Szabatosabban szólva a nehézkedés helyét a nehézség fogalma foglalja el, mely erő a Föld tömegvonzásának és tengelyforgásából származó czentrifugális erejének eredője és ezért, mint a 30. rajz mutatja, iránya, a függőleges, a Föld sugarához képest mindig délre tér el.
24
a melyet e középpont gyakorol reá, kisebbednie kell; és ha egymásután megmérjük a testet B-ben és A-ban oly súlylyal, a mely mindig egy és ugyanazon a szinten marad, akkor azt kell találnunk, hogy p' súly különbözik a p súlytól, ha a nehézkedés és vonzás azonosak.
Az A és B helyen levő súlynak számítása egyszerűen történik.*) Például 10 kg. súly egy tizezredrészét, Vagyis egy grammot
veszít értékéből, ha 300 m. magasra emeljük.
JOLLY sokkal egyszerűbb körülmények közt végezte kísérletét; kitünő, pontos mérleget vett és ily körülmények közt három méternyi áthelyezés elég volt, hogy a változás kitünjék.
*) Első esetben A-ban a test R távolságra van a Föld középpontjától; második esetben R+h távolságra. A vonzás nagysága fordított arányban van a távolságok négyzetével. Tehát
az arányok egyik ismert sajátságánál fogva írhatjuk azt is hogy:
p–p' az a Δp különbség, melyet ki kell számítanunk; p' a súly a felső állomáson; így tehát
a zárjelben elhanyagolhatjuk a h értékét a 2R-rel szemben (2R a Föld átmérője) és akkor ott csak a 2R marad meg; ha még a számlálót és nevezőt R-rel osztjuk:
Ez az a képlet, a mely megadja valamely test súlyának viszonylagos csökkenését, midőn h magassággal függőlegesen áthelyezik.
Alkalmazzuk a képletet az Eiffel-torony esetére. Keressük, hogy 10 kg.-nyi súly mennyi látszólagos súlyt veszít, ha alulról a torony tetejébe emelik.
Akkor h=300 m.; 2h=600 m.; R sugár értéke körülbelül 6000 km.; tehát:
25
Ha h=3m, akkor
Már pedig vannak oly mérlegek (például a párizsi Sorbonne természettani laboratoriumában), a melyek 10 kg. súlymegterheléskor milligrammig érzékenyek.
10 kg.-nak egy milliomodrésze a milligramm és a mérleg ennek a súlynak a tizedrészét is kimutatja; így tehát a kísérletet 3 m.-nyi függőleges áthelyezéssel megtehetjük. Ime, hogyan lehet a dolgot megvalósítani.
15. rajz.
A felső állomáson (15. rajz) fölállítjuk a mérleget, melynek egyik csészéjéről h hosszúságú f szál csüng alá.
Az első mérést úgy végezzük, hogy a súlyt P-be helyezzük (1. helyzet), és π ólomseréttel egyensúlyozzuk.
Ez megtörténvén, a súlyt fölfüggesztjük a szál végére, P1-be (2. helyzet); ekkor észlelhetjük, hogy a seréthez még túlsúlyt kell adnunk; jelöljük ezt a túlsúlyt Δπ-vel, ez a két vonzás különbsége. Ha a mérleg teljesen pontos, akkor π-hez még hozzá kell tenni, hacsak előbb nem tettük, a P súly mellé ezt a túlsúlyt, melyet
26
a 2. helyzetben le kell vennünk, hogy az egyensúly helyreálljon.
Ez a szép kísérlet megmutatja, hogy a nehézkedés az egyetemes vonzás egyik esete.
26. A vonzás K állandója ismeretének fontossága.
Nagyon fontos a newtoni vonzás állandójának ismerete; mert ha ismerjük a nehézkedés g gyorsulását és ismerjük K-t, akkor közvetetlenül lehozhatjuk belőle a Föld tömegét minden csillagászati jelenség közvetítése nélkül.
Valóban, ha P az m tömegű test súlya valamely helyen, a hol a nehézkedés gyorsulása g, akkor a súly kifejezésére a következő képletünk van:
P = mg,
másrészt, mivel a nehézkedés és vonzás azonos tünemények, kifejezhetjük, hogy e súly nem egyéb, mint az M tömegű Föld vonzása az m tömegű testre, mely P távolságra van a középponttól. Tehát
P-nek ezt a két értékét egyenlővé téve kapjuk, hogy:
honnan
De tudjuk, hogy g értéke a szabadon eső testek észleléséből meghatározható; később látni fogjuk, hogy az inga lengésének tanulmányozásával miként lehet ezt a számot igen nagy pontossággal meghatározni.
R a Föld sugara, hozzávetőleg meghatározható a látóhatár sülyedéséből, pontosabban pedig a földmérésekből, a melyekről később beszélünk. Tehát a Föld tömegét megállapíthatnók, ha a K együtthatót meghatározhatnók; az (1) képlet megmutatja azt is, hogy az a viszonylagos pontosság, a melylyel az M-et meghatározhatjuk, a K pontosságától függ.
27
Ha egyszer a Föld teljes tömegét ismerjük, a sugarából levezethető térfogatának segítségével kiszámíthatjuk sűrűségét és belőle fontos következtetést vonhatunk a Föld belső szerkezetére nézve.
A K állandó meghatározása tehát viszont a Föld sűrűségének meghatározását is maga után vonja.
A K együttható ismerete ennek következtében alapvető fontosságú. A következő fejezetben előadjuk azokat a főbb kísérleteket, a melyekkel ezt az állandót meghatározhatjuk.