ELSŐ RÉSZ.
A SZILÁRD TESTEK MECHANIKÁJA.
I. FEJEZET.
A MOZGÁSRÓL.
15
. Valamennyi tünemény között a leggyakoribb a mozgás, s jelenleg erre igyekszünk visszavezetni minden más tüneményt. Azt a tudományt, mely a mozgást az őt létesítő okoktól és a mozgó anyagtól függetlenül tárgyalja, kinematikának nevezzük.16
. Valamely test mozgásban van, ha egymásra következő időkben különböző helyzeteket foglal el a térben, és nyugalomban van, ha maradandóan egyazon helyzetben marad.Abszolut nyugalomban levő testek nincsenek a természetben s ennélfogva egyáltalában nem tanulmányozhatjuk az abszolut mozgást, mert e végből azt, a mi mozog, abszolut nyugalomban levő pontokra kellene vonatkoztatni, hogy észrevehessük, vajjon távolodik-e tőlük, közeledik-e hozzájok, vagy forog-e körülöttük.
Így tehát mindig viszonylagos mozgással, vagyis olyannal van dolgunk, melyet olyan pontokra vonatkoztatunk, melyeket állóknak tekintünk. Így áll a dolog a Föld felületén végbemenő valamennyi mozgásra nézve; a vonat távozik az állomástól, melyet nyugalomban levőnek tételezünk fel, pedig részt
vesz a Földnek a saját tengelye körül és a Nap körül való mozgásában; tanulmányozzuk a Holdnak a Földre viszonyított mozgását, a Földnek a Napra viszonyított mozgását azzal a feltevéssel, hogy a Nap veszteg marad, jóllehet a Nap is tovahalad a térben.
17
. Tekintsük először is egy tetszés szerinti testnek igen kicsiny részecskéjét, vagy tekintsünk, mint mondani szokás, egy anyagi pontot. Pályának nevezzük azt a mértani helyet, melyet ez a pont az egymásra következő időkben elfoglal; megkülönböztetünk egyenes vonalú és görbe vonalú mozgást a szerint, a mint a pálya egyenes vagy görbe és megkülönböztetjük a körben való mozgást az ellipszisben vagy parabolában valótól, eme vonalak alakja szerint. A mozgás iránya valamely adott pontban megegyezik az ebben a pontban a pályához húzott érintővel.18
. Továbbá, ha az anyagi pont bármilyen kicsiny egyenlő időrészekben egyenlő útakat fut be, a mozgást egyenletesnek mondjuk. Például valamely óra percz-mutatójának vége minden egyes perczben a körkerület egy hatvanad részét írja le, de azért mozgása még sem egyenletes, mert ugrásokban történik s nem ír le minden egyes másodperezben állandóan egyenlő íveket.Ha ellenben az egyenlő időközökben befutott útak nem egyenlők, a mozgás változó; még pedig gyorsuló, ha az egymásra következő egyenlő időkben befutott útak folyton növekednek és lassuló az ellenkező esetben. Így a vonatnak kezdetben gyorsuló mozgása van, mely azután egyenletessé válhatik s végre, mielőtt megállana, lassuló mozgásba csap át.
19
. Két egyenletesen mozgó pont közül az egyik gyorsabban, a másik lassabban mehet, vagyis a mozgás többé-kevésbbé sebes lehet és sebességnek nevezzük valamely testnek azt a tehetségét; melynél fogva adott időben kisebb-nagyobb útat futhat be.Egyenletes mozgás esetében a sebességet az időegységben befutott út méri.
Ekként mondjuk, hogy valamely vonatnak óránkénti 30 km sebessége van. Azonban rendszerint a métert vesszük hosszegységül, a másodperczet pedig időegységűl. Ez esetben, ha valamely mozgó test egy másodperczben c métert fut be, t másodperczben s = ct métert fog befutni.
Változó mozgásban a sebesség minden pillanatban változik s ennélfogva, ha ez esetben sebességről szólunk, kell hogy egy meghatározott időpontra hivatkozzunk; és a mozgó pontnak ebben az időpontban való sebességét az az út méri, melyet az időegységben befutna, ha ettől az időponttól kezdve sebessége állandó maradna.
Midőn lokomotivot látunk magunk előtt elhaladni, legott megközelítő fogalmat alkotunk a sebességéről, s megitélhetjük, hogy óránként hány kilométert futna he, ha mindig ezen a módon folytatná futását. Minthogy módunkban van, hogy eme kilométerek számát szabatosan megmérhessük, megmérhetjük a lokomotiv sebességét is az átmenet pillanatában. Tudjuk azonban, hogy mozgása épenséggel nem egyenletes. Kezdetben a sebessége olyan volt, hogy ha állandó maradt volna, kisebb útat tett volna meg vele. Midőn a gyakorlatban például azt mondjuk, hogy a Budapest és Bécs között járó vonatnak másodperczenkénti 14 m sebessége van, nem a valódi sebességéről szólunk, hanem a középsebességéről, melynél a pálya egyes pontjain majd gyorsabban, majd lassabban mozog és közbe-közbe az egyes állomásokon még meg is áll.
A középsebesség mértéke az a szám, melyet kapunk, ha a két szélső pont között fekvő útat a befutására megkivántató idővel elosztjuk. Ha azután egymáshoz mindinkább közelfekvő
két pontot veszünk hgyelembe, a középsebesség értéke mindinkább közeledni fog azokhoz a különböző értékekhez, melyeket a valódi sebesség a figyelembe vett közön felvesz, úgy, hogy ha ez a köz igen rövid, a valódi és a középsebességet csaknem egyazon szám fejezi ki. Ez módot nyujt arra, hogy tetszés szerinti rnegközelítéssel kiszámítsuk a valódi sebesség értékét, ha ismerjük a törvényt, mely szerint az idő folytával a befutott út változik.
Mindaz, mit eddigelé a sebességről mondottunk, egyaránt alkalmazható az egyenesvonalú és a görbevonalú mozgásra, azzal az egyedüli különbséggel, hogy az utóbbi esetben a mozgás iránya folytonosan változik s így egyszer s mindenkorra nem tűzhető ki, hanem pillanatról pillanatra kell ismerni. Az egyenletes és egyenes vonalú mozgásban a sebesség és az irány állandó, az egyenes vonalú változó mozgásban csakis az irány állandó, az egyenletes görbevonalú mozgásban pedig csakis az irány változik.
Néhány figyelemre méltó sebesség táblája, másodperczenkénti méterekben.
J. JACKSON szerint.
| Jó gyalogló | 1,60 |
| Ügető ló utazáskor | 2-2,20 |
| HALLEY üstököse naptávolban | 3,25 |
| Hajó, mely óránként 9 csomóval (9×1852 m) jár | 4,63 |
| Vágtató ló | 4-5 |
| Közönséges szél | 5-6 |
| Heves szél | 10 |
| 21 csomóval járó torpédó-naszád | 10,80 |
| A legjobb versenylovak ügetve | 12 |
| A legjobb versenylovak vágtatva | 13 |
| Óránként 60 km-rel járó gyorsvonat | 16,67 |
| Postagalamb | 18 |
| Vihar | 25-30 |
| Az érzések terjedése az emberi idegekben | 33 |
| Orkán | 40 |
19
| A leggyorsabb madarak | 88,90 |
| A hang terjedése 100 °C-nál | 337,20 |
| Puskagolyó | 300-400 |
| A földi egyenlítő egy pontja | 463 |
| Ágyúgolyó | 500 |
| Hold keringése a Föld körül | 1012 |
| A Nap egyenlítőjének egy pontja | 2028 |
| A Nap mozgása a Herkules csillagzat felé | 7642 |
| A Föld keringése a Nap körül | 29516 |
| A Sirius saját mozgása | 51000 |
| A Nap légkörének közönséges mozgása | 30 000 - 65 000 |
| HALLEY üstököse napközelben | 393 260 |
| A Nap légkörének viharai | 402 000 |
| Elektromos impulzus a tengeralatti kábelekben | 4 000 000 |
| Elektromos impulzus a levegőben vezetett drótokban | 36 000 000 |
| Fény | 300 000 000 |
| Aldebaran csillag haladása a nézésvonal irányában | 650 000 000 000 |
20
. A mozgás törvényei grafikailag tüntethetők elő a következő módon.
8. ábra. A lassuló mozgás ábrázolása. |
Vegyünk fel bizonyos hosszt (1 mm, 1 cm, stb.), melylyel a másodperczet tüntetjük elő, és egy másik hosszt (1 cm, 1 dm, stb.), mely ábrázolja az út egységét, mely rendszerint a méter. Ezután húzzunk egy korlátlan OX egyenest (8. ábra), és kiindulva az O pontból, rakjunk fel reá valamely OD hosszt, mely a t időt tüntesse elő; emeljük OX-re a DD' merőlegest, melynek hossza tüntesse elő a t időben befutott útat; ismételjük ugyanezt a szerkesztést más időkre és a megfelelő útakra is. Ily módon a pontoknak oly sorát kapjuk, melyben a pontok tetszésünktől függő közelségben vannak, s folytonos vonallal összekötve az O'A' B'C' ... görbét adják; ez a vonal a megvizsgált mozgás törvényét, vagyis azt a kapcsolatot tünteti elő, mely a befutott útakat a befutásukra megkivántató időkkel összefűzi.
Az olvasó jegyezze meg, hogy az OA, OB,... egyeneseket a görbe metszékeinek, OX-et a metszéki tengelynek, az O pontot pedig kezdőpontnak nevezzük és hogy az OO', AA', BB',... egyeneseket a görbe rendezőinek és az egymásnak megfelelő eme metszékek és rendezők együttességét összrendezőknek mondjuk.
Az egyenletes mozgást, melyet az útaknak az időkkel való arányossága jellemez, egyenes vonal tünteti elő.
9. ábra. A gyorsuló mozgás ábrázolása. |
Ellenben a változó mozgásokat görbe vonalak tüntetik elő, mert az OA, AD, BC, ... ‚ egyenlő időrészeeskékben leírt A''A', B''B', C''C', ... kicsiny útak nem egyenlők és ennélfogva a sebesség minden pillanatban változik. A 8. ábra a lassuló mozgás egy esetét tünteti elő, mert az egymásra következő és egymással egyenlő időrészekben leírt C''C', D''D', ... útak folyton kisebbednek.
Ellenben a 9. ábrabeli görbe, mely domború oldalát fordítja a metszéki tengely felé, valamilyen gyorsuló mozgást tüntet elő.
Ha a C ponttal előtüntetett pillanatban a mozgás megszünik gyorsuló lenni és az ezen pillanatnak megfelelő sebességgel tovább tart, az őt előtüntető vonal C'-től kezdve megszünik görbe lenni és a C'M érintővé válik, mely a C'D' vonalelem
meghosszabbításának tekinthető; és a figyelemhe vett pillanatbeli sebességet megkapjuk, ha megmérjük az NM rendezőt, mely az időegységet előtüntető C'N metszéknek felel meg.
Már most a CD idő alatti középsebességnek (19) a mértéke
| v = |
|
és ha feltesszük, hogy a CD időrészecske olyan kicsiny, hogy a CD' ív összeesik érintőjével, úgy
|
= |
|
s innét is kitűnik, hogy miként vág össze a változó mozgás sebessége mérésének két módja, melyeket a 19. pontban adtunk elő.
21
. A végtelen sok változó mozgás közül különös említést érdemel az egyenletesen változó mozgás, mely akkor áll be, mikor a sebesség egyenlő időközökben állandóan változik. A sebességnek az időegységre eső változását gyorsulásnak nevezzük; ha ez a változás növekedés, úgy pozitivnak vesszük és a mozgás egyenletesen gyorsuló; ha csökkenés, negativnak vesszük és a mozgás egyenletesen lassuló.Mind a két esetben a sebesség az idővel arányosan változik, úgy, hogy ha a gyorsulást γ-val jelöljük, a sebességnek t másodpercz alatt egészben való változása:
v = γt |
(1) |
Ha a t idő kezdetén a mozgó pont nyugalomban volt, eme képlet egyúttal megadja a sebességet, melylyel t idő végén mozog. De ha már kezdetben valamelyes u sebessége volt, a sebessége t idő elteltével
v = u + γt |
(2) |
És szem előtt tartandó, hogy pozitiv γ esetében a mozgás gyorsuló, negativ esetében pedig lassuló.
A (2) képletből egyszerű megfontolás segítségével a következő képlet vezethető le:
|
(3) |
mely a t időben egyenletesen változó mozgással befutott útat adja.
10. ábra. Egyenletesen gyorsuló mozgás ábrázolása. |
Vegyük ugyanis, mint az előbb, az időket metszékeknek, de a rendezők ne legyenek a befutott útak, hanem a megfelelő sebességek; vagyis állapodjunk meg abban, hogy egy másodperczet egy meghatározott hoszszal, például 1 cm-rel tüntetünk elő s ugyanígy a másodpercz többszöröseit vagy hányadrészeit a czentiméter ugyanannyiszorosaival vagy ugyanazon hányadrészeitel tüntetjük elő; tegyük fel, hogy eme megállapodással az AG egyenes a t időt tünteti elő. Hasonlóképen tüntessük elő a sebességeket, de az előbbenire merőleges egyenesekkel, úgy, hogy a másodperczenként 1 m sebességet például 1 mm fejezze ki. Ily módon a kezdetbeli u sebességet az Aa egyenes (10. ábra) tüntesse elő úgy, hogy ha a mozgás eme sebességgel egyenletes maradna, a t időben befutott s' = ut útat az AG és Aa oldalakkal szerkesztett AGha derékszögű négyszög fejezné ki.
Osszuk most a t időt n egyenlő részre (az ábrában 6-ra), és AG-nek minden osztáspontjában, melyek minden egyes rész kezdetének felelnek meg, emeljünk AG-re egy-egy merőlegest, melynek hossza, az elfogadott megállapodásokhoz képest, tüntesse elő az egyenletesen gyorsuló mozgásnak v = u + γ sebességét, még pedig a merőlegesnek talppontjával jelölt időpontban.
Mindezen merőlegesek felső végei valamely ag egyenesben fognak feküdni.
Ha a sebesség a helyett, hogy miként a valóságban történik, észrevehetetlen fokozatokban változnék, a t idő n részeinek mindegyikében állandó maradna, de eme rész elteltével hirtelen változnék: nyilván való, hogy a befutott út a valódinál kisebb vagy nagyobb lenne a szerint, a mint a képzelt sebesség minden időközben megegyeznék a valódi sebességnek vagy ezen időköz kezdetén meglevő, vagy pedig a végén meglevő értékével. Az első esetben a befutott útat az aB,bC,cD, ..., fG derékszögű négyszögek összege fejezné ki, az utóbbiban pedig az Ab, Bc, Cd, ..., Fg négyszögeké.
De eme két összeg közül egyrészt az egyik mindig nagyobb és a másik mindig kisebb az AagG trapéz területénél, bármekkora is az n száma az időközöknek, melyekre a t időt felosztva képzeltük; másrészt a két összeg közötti különbség ezen n szám növekedtével fogy, s ezzel lépést tartva, a két képzelt eset mindinkább közeledik a sebesség folytonos változásának tényleges esetéhez. Látjuk tehát, hogy a valóban befutott útat eme trapéz területe, vagyis
|
AG = |
|
t |
fejezi ki, mely érték a (2) alatti képlet révén az
|
t |
alakot ölti, honnét a (3) alatti származik.
Ha már most (3)-ba t-nek (2)-ből vett értékét tesszük, úgy
|
(4) |
honnét, ha u = 0 tétetik, vagyis abban az esetben, mikor a mozgó pont a nyugalomból indul gyorsuló mozgásnak:
|
(5) |
24 22. Az imént tárgyalt mozgásban a gyorsulás állandó, és (1)-ből kitünik, hogy meg van határozva a sebességváltozásnak amaz időhöz való viszonyával, a melyben ez a változás végbemegy. Minden más változó mozgásban a gyorsulás változó, és a sebességváltozásnak az időhöz való viszonya a gyorsulás középértékét határozza meg, mely annál közelebb jár a valódi értékhez, mentűl rövidebb a figyelembe vett idő. Ennélfogva a gyorsulás egy adott pillanatban
|
(6) |
hol v' és v az adott pillanatot magában foglaló τ időrészecskének elején és végén való sebességek.
23
. Mikor a sebességgel együtt folyton változik a mozgás iránya, a mozgó pont minden egyes pillanatban meglevő állapotanak meghatározására a sebességnek három egymásra merőleges irány mentén való összetevőit fejezzük ki.Hogy jól megértsük, hogy ez miként történik, lássunk egy példát. Valamely ló perczenként 100 métert haladva egyenes vonalban, egy dombra megy fel; mozgását teljesen fogjuk ismerni, ha a sebességnek ezen az értékén kívül tudjuk, hogy a lovagló út mekkora szöget zár be a délkörrel és mekkora szög alatt hajlik a vízszintes síkhoz. Azonban ugyanezt a mozgást más szempontból is tekinthetjük, vagyis kifejezhetjük, hogy perczenként mennyivel mozdul el ez a ló dél felé, mennyivel kelet (vagy nyugat) felé, és mennyivel emelkedik.
Ezt a három sebességet a tényleges sebesség derékszögű összetevőinek nevezzük.
A mint kitűzhetjük azt a feladatot, hogy valamely adott sebesség bontassék szét összetevőire, épen úgy gyakran előfordul az ellenkező feladat: meghatározandó több összetevő sebességnek eredő sebessége. Legyen például az M anyagi pont (11. ábra) valamely hajó fedélzetén, és abban a pillanatban, melyben figyelembe vesszük, legyen a hajóhoz viszonyított
11. ábra. Az eredő meghatározása. |
sebessége u, melyet nagyság és irány szerint MA tüntet elő, úgy, hogy az időegység elteltével a pont, ha sebességét változatlanul megtartaná és a hajó nem mozogna, A-ba jutna el. De tegyük fel, hogy a figyelembe vett időpontban a hajó az MB egyenessel előtüntetett v sebességgel mozdul el, úgy, hogy M pontnak egyidejűleg meglegyen az u és a v sebessége is. Nyilvánvaló, hogy ha eme sebességek állandók maradnak, a szóban forgó pont az MA és MG-vel szerkesztett parallelogramm MD átszögellőjét futja be és az időegység elteltével D-be jut; ebből tehát következtethetjük, hogy épen úgy fog mozogni, mintha csakis az MD-vel előtüntetett r eredő sebességgel volna felruházva.
Ha tehát az u és v közé fogott szög θ, úgy
r2 = u2 + v2 + 2uv cosθ |
(1) |
és ha az r és u az α szöget fogják közre:
|
(2) |
tehát módunkban van az eredőnek úgy nagyságát, mint irányát kiszámítani.
Abban a különös esetben, mikor θ = 90°, vagyis két egymásra merőleges összetevő esetében
r2 = u2 + v2 |
(3) |
és ha β az a szög, melyet ekkor v az r-rel bezár:
v = r cosβ, u = r sinβ |
(4) |
minélfogva
|
(5) |
Hasonló módon találjuk három, nem egyazon síkban fekvő sebesség eredőjét, melyet annak a parallelepipédnek az átszögellője tüntet elő, melynek élei a sebességeket ábrázoló egyenesek.
És abban a különös esetben, mikor az u, v, w három összetevő derékszögű, az eredőjük:
r2 = u2 + v2 + w2
és a cosinusai azon szögeknek, melyeket ez az eredő az adott sebességek irányával bezár, megfelelőképen a következők:
|
' |
|
' |
|
24
. Mivel a gyorsulások nem egyebek a sebesség változásainál, nyilvánvaló, hogy szintén egyenes vonalakkal tüntethetők elő és az imént előterjesztett tételekkel tehetők össze és bonthatók szét. Nem fölösleges azonban, hogy egy gyakran előforduló körülményre különös figyelemmel legyünk.
12. ábra. A rezgő mozgás ábrázolása. |
Tegyük fel, hogy valamely pont állandó sebességgel egy görbét ír le; ez esetben a gyorsulás a görbe mentén állandóan zérus értékű. De mivel a sebességnek egy adott irány szerint való összetevője változó, a gyorsulásnak ugyanezen irány szerinti összetevője nem maradhat mindig egyenlő zérussal.
Alkalmazzuk ezt a megfontolást egy igen fontos esetre.
Az M pont (12. ábra) mozogjon az r sugarú AMB körön u állandó sebességgel, és tekintsük az M-ből AD átmérőre vont merőleges P talppontjának mozgását. Ezt a nyilvánvalólag változó mozgást egyszerű rezgő mozgásnak, vagy később (87) kifejtendő okok miatt, rezgő vagy lengő mozgásnak is nevezzük.
P-nek az a mozgása, mely M egy teljes körüljárásának felel meg, egy teljes rezgést létesít, s ennélfogva egy AD odamenetből és egy RA visszamenetből áll; az egyszerű rezgés a teljes rezgésnek fele, s ennélfogva M-nek A-ból M'-en át E-be való
menetének, vagy R-ből N-en át A-ba való menetének felel meg. A rezgés tágassága az az AB ú, melyet P a két szélső helyzet között befut. Az ehhez megkívántató idő rezgés tartama vagy ideje.
A fázis egy adott pillanatban a rezgés tartamának az a hányadrésze, mely P-nek A-ból való kiindulása pillanatától eltelt. Kimozdulás vagy kirezgés az útnak C-től P-ig eső része.
Ezt előrebocsátva, le fogjuk vezetni az M pont valamely helyzetének megfelelő P pont v sebességét, figyelembe véve, hogy ez az u sebességnek az AB irányban vett összetevője. E végből az ACM szöget α-val fogjuk jelölni, és ha meggondoljuk, hogy az u sebességnek M-beli iránya összeesik az MT érintővel, a (4) képletből a
v = u cosTMQ = u sinα |
(6) |
értéket kapjuk.
Látjuk tehát, hogy P sebessége A-ban zérus, folyton növekszik C-ig, hol maximális u értékét veszi fel, ezután folyton kisebbedik egészen zérusig D-ben; innét ellenkező irányúvá válik és átmegy az előbbeni, de ellenkező jellel vett értékeken.
Hogy kiszámítsnk P pontnak γ gyorsulását, tekintsük e pontot két egymáshoz igen közel eső P és P' helyzetben, melyek a körben egyenletesen keringő pont M és M' helyzeteinek felelnek meg; jelöljük a sebességet P'-ben v'-vel, a P-ből P'-be való átmenet kicsiny idejét τ-val, az MCM' szöget pedig α'-val, úgy
v' = u sin(α+α') = u(sinα cosα' + cosα sinα'),
s kivonva ebből a (6) alatti értéket:
v'–v = u cosα sinα' – u sinα(–cosα'),
vagy szintén
v'–v = u cosα sinα' – 2u sinα sin2(½α'),
vagy még, ha a τ időrészecskében leírt MM' ívét σ = rα'-val fejezzük ki:
| v–v' = |
|
( |
|
) | cosα – u |
|
|
( |
|
) | 2 | sinα |
és mivel a középsebesség u = σ/τ, ezért a P és P' közötti középgyorsulás (22)
|
= |
|
( |
|
) | cosα – |
|
|
( |
|
) | 2 | sinα |
végül figyelembe véve, hogy α' a τ-val együttesen közeledik zérus felé, és hogy ekkor a zárójelekben levő két kifejezés az egységhez közeledik, a valódi gyorsulás kifejezése:
| γ = |
|
|
= |
|
cosα |
Tekintve továbbá, hogy a középponttól való kirezgés
CP = x = r cosα |
(7) |
keletkezik még:
|
(8) |
Ennélfogva a rezgő mozgásban a középpont felé irányuló gyorsulás minden pillanatban arányos a kirezgéssel.
Ha T egy teljes rezgés ideje, úgy
| u = |
|
tehát a gyorsulás és a kirezgés közötti viszony a következő alakot ölti:
|
= |
|
= |
|
honnét a rezgés ideje:
|
(9) |
mely érték független lévén a tágasságtól, azt mondjuk: a rezgések (lengések) egyidejűek (isochronok).
Hogy a kirezgést és a sebességet annak a t időnek a függvényében fejezzük ki, mely idő P-nek A-ban léte pillanatától telt el, vagyis hogy a t/T fázis függvényében fejezzük ki, figyelemmel kell lennünk, hogy
|
= |
|
= |
|
és ennélfogva (7)-ből és (6)-ból kapjuk, hogy
| a kirezgés: |
|
(10) |
| a sebesség: |
|
(11) |
| a gyorsulás: |
|
(12) |
és a befutott út A-tól számítva:
|
(13) |
13. ábra. A kirezgés és a sebesség ábrázolása.
A kirezgés és a sebesség változásának törvényét a következőképen ábrázolhatjuk. Az A'V egyenessel (13. ábra) a rezgés tartamát tüntetjük elő, és például 12 részre osztjuk; e részek mindegyike azt az időt tünteti elő, melyet M megkiván, hagy a körkerület 1/12 részét leírja. Ha ezután elő akarjuk tüntetni a sebesség görbéjét, VA' meghosszabbításában C középpontból leírunk egy kört, melynek sugara a maximális u sebességet ábrázolja: Ezt a kört 12 részre osztjuk, és kiindulva az A pontból, melyet a mozgó pont helyének tételezünk fel, midőn az időt számítani kezdjük, az egyes osztópontokból A'V-hez párhuzamosakat vonunk mindaddig, míg az A'V vonal osztópontjaiban e vonalra emelt megfelelő merőlegeseket nem met-
szik. Ekként 12 pontot kapunk, melyek folytonos vonással összekötve a sebességnek A'H'K'V görbéjét adják. Hogy a kirezgéseknek A''B''S görbéjét is meghúzzuk, hasonló módon járunk el azzal az egyedüli különbséggel, hogy ez esetben a kör sugarának a rezgés tágasságának a felét kell ábrázolnia, és az A'V-hez húzott első párhuzamosnak H-ból kell kiindulnia, ha az időt attól a pillanattól kezdjük számítani, a melyben a mozgó pont az ő útjának végén van. E két vonalat sinus-vonalnak nevezzük.
Több rezgő mozgás is összetehető és bonyolódottabb mozgást létesithet; e tárgy fejtegetését azonban akkorára hagyjuk, mikor az elméleti levezetéseket alkalmas kísérleti tényekkel kapcsolhatjuk össze.
25
. Most inkább azon leszünk, hogy az imént végzett számításokból egy következtetést vonjunk, melynek a következőkben nagy hasznát vesszük.A (8) képletből megkaphatjuk a körön egyenletesen mozgó pont gyorsulásának értékét, ezt a gyorsulást a ponthoz húzott sugár iránya mentén véve. Ha ugyanis e képletben x = r tétetik, vagyis feltesszük, hogy P pont (12. ábra) A-ban van, úgy azt az esetet tekintjük, melyben M pont az AB átmérő végpontján megy át, és M-nek ezen átmérő mentén való gyorsulása:
|
(12) |
és nyilvánvaló, hogy a gyorsulás az M pont helyzetének változásával nem fog változni, ha ugyan mindig annak a sugárnak irányában számítjuk, amelyen az M pont a figyelembe vett időpontban fekszik.
Következik tehát, hogy a mikor valamely pont állandó sebességgel kört ír le, e pontnak minden pillanatban középpont felé tartó: czentripetális gyorsulása, vagyis a sugár irányában való gyorsulása van, mely a sebesség négyzetével egyenes, magával a sugárral pedig fordított viszonyban van.
Általában, mikor valamely pont bármiképen mozog valamely görbe vonalban, egész gyorsulása szétbontható két részre: az egyik a mozgás irányába esik és a palya mentén való tényleges sebességváltozást méri: a másik merőleges a görbe vonal érintőjére, s ennek az a hatása van, hogy meghatározza a pálya alakját, vagyis megváltoztatja a mozgás irányát, a nélkül, hogy magára a pálya mentén számított sebességre hatással volna.
26
. Néha az anyagi pont mozgását egy szilárd pontra, úgynevezett kezdőpontra vonatkoztatjuk, miközben feltesszük, hogy a két pont egy egyenessel a vezető sugárral van összekötve, és tanulmányozzuk, hogy a t idő folytával miként változik a vezető sugár hossza és az a szög, melyet egy szilárd iránynyal bezár. Az első pontnak a második körül való szögsebességét az a viszony méri, mely a vezető sugár egymásra következő két helyzetétől bezárt szög és az ezen helyzetek egyikéből a másikába való átmenetre megkivántató idő között fennáll. Ha az egyenlő időkben leírt szögek egyenlők, az ekként kapott szám, bármekkora is az idő, nem változik; minden más esetben azonban megváltozik, s ekkor, miként a változó mozgásban (19), a szögsebesség mértéke egy adott pillanatban az a határérték, mely felé a mondottuk viszony közeledik, ha az ettől a pillanattól számított időt korlátlanul csökkentjük.Valamely pontnak tehát egy adott pillanatban akkor volna egységnyi szögsebessége, ha egy szilárd pont körül folytonosan egyazon módon mozogván, az időegységhen egységnyi szöget írna le. Valamely szög mértékét a geométriában az a viszony határozza meg, mely a száraitól bezárt körív s ugyanezen kör sugara között fennáll; ennélfogva a szögnek egysége az a szög, mely a sugárral egyenlő hosszú ívet zár be, vagyis a szögnek egysége 180° : π = 57° 17' 44,75''. Mikor tehát egy pont valamely kört T másodpercz alatt ír le, a középpont körüli szögsebessége:
| ω = |
|
A gyakorlatban azonban inkább a fokot, vagyis a derékszög kilenczvened részét veszik szögegységül, s ekkor azt mondjuk, hogy valamely pont például x°-nyi másodperczenkénti sebességgel kering. Ez esetben az előbbeni példa a következő értéket adná:
| ω = |
|
és innét
|
(1) |
Néha a sebesség kifejezésére azt mondjuk, hogy a mozgó pont másodperczenként n keringést végez; ez esetben az egyenletes mozgásra nézve:
| n = |
|
ω = 2πn |
27
. Forgó mozgás esetében valamely merev test minden pontja mind megannyi kört ír le, mely körök középpontjai egyazon egyesen feküsznek, melyet forgástengelynek nevezünk. Nyilvánvaló, hogy minden egyes pont mindig egy a tengelyre merőleges síkban, az úgynevezett forgási síkban marad, és hogy a forgó test minden pontjának egy adott pillanatban egyazon szögsebessége van, de nagyobb tényleges sebességök van azoknak a pontoknak, melyek a tengelytől távolabb esnek. Nevezetesen pedig v tényleges sebessége annak a pontnak, mely a tengelytől r távolságban fekszik, a következő:
|
(2) |
Példáúl a Földnek, mely egy forgást 24h alatt végez, a szögsebessége óránként 15°, vagy másodperczenként x = 0° 0' 15'', vagy szintén
ω = 2π : (24×60×60) = 0,000 072 7
mi azt fejezi ki, hogy a Föld tengelyétől 1 m távolságban levő pont mintegy 0,07 mm útat fut be másodperczenként, ellenben
az egyenlítőn fekvő valamely pont, ahol a Földsugár 6 378 233 méter, ugyanazon idő alatt 463 métert fut be. (*)
Valamely test különböző tengelyek körül való két vagy több forgó mozgásnak egyidejűleg alá lehet vetve; például bármely test, mely a Föld felületén valamely szilárd tengely körül forog, ugyanakkor a Föld tengelye körül való forgó mozgásnak is alá van vetve. Lássuk tehát, hogy két forgó mozgás miként tehető össze egy egyedüli forgó mozgássá, ha az összetevő mozgások tengelyei metszik egymást.
14. ábra. Forgó mozgások összetétele. |
Legyen OX és OY (14. ábra) a két forgástengely és legyenek ω és ω1 az illető szögsebességek; és hogy figyelmünket határozott esethez köthessük, tegyük fel, hogy az OX körüli forgás a C pontot a rajzlap síkjából felemelni, a másik forgás pedig eme sík alá vinni törekszik. Nyilvánvaló, hogy ha C pontot akként választjnk, hogy az OX és OY-tól való távolságai eleget tegyenek a
CA·ω = CB·ω1
feltételnek, ez a pont a figyelembe vett pillanatban veszteg marad, s ugyanígy valamennyi többi pont is, mely OC mentén fekszik, s ennélfogva OC adja az eredő forgó mozgás forgástengelyét.
Ha már most megrajzo]juk az OPCQ parallelogramot, észrevesszük, hogy
OP×AC = OQ×CB
s ennélfogva:
|
= |
|
honnét kitünik, hogy ha az OX és OY forgástengelyeken két,
(*) E példában a csillagidőt használtuk. (V. ö. 82, b és h.)
OP és OQ darabot metszünk le, melyek az illető szögsebességekkel arányosak, az ezen metszetekből szerkesztett parallelogramm átszögellője az eredő forgás tengelyébe esik.
Továbbá, ha OC-re a BL és OX-re a BD merőlegest húzzuk és az OC körüli eredő szögsebességet Ω-val jelöljük, úgy Ω-nak eleget kell tennie a
BL·Ω = BD·ω
feltételnek, ha azt akarjuk, hogy B-nek, mikor az OX vagy OC körül forog, ugyanaz a sebessége legyen. De az OCB és OPB háromszögek egyenlőségénél fogva
BL×OC = BD×OP
úgy, hogy a megfelelő tagok osztása révén:
|
= |
|
= |
|
Ha tehát valamely forgó mozgást egy egyenessel tüntetünk elő, melynek iránya megegyezik a forgástengelyével, hossza pedig arányos a szögsebességgel, úgy az eredő forgó mozgást annak a parallelogrammának átszögellője tünteti elő, melyet az összetevő mozgásokat ábrázoló egyenesek fölé szerkeszthetünk. A forgások tehát úgy tehetők össze, mint a haladó mozgások (23).
28
. Eme néhány kinematikai fogalom után szabatosabban ki fogjuk fejezni, hogy mit kell nyugalom alatt értenünk; mert a 16. pontban mondottak szerint következik, hogy valamely anyagi rendszer gyorsan mozoghat, holott részei egymás között a legteljesebb nyugalomban vannak; és fordítva is, valamely test nyugalomban lehet más testekhez képest, és belsejében ugyanekkor a legkülönbözőbb mozgások mehetnek végbe. Ez utóbbi állapotban van például egy szikla, bármily változatlan összeköttetésben van is a földkéreggel, mert alapos okaink vannak, hogy feltegyük, hogy a molekulák, melyekből össze van téve, szünetlenűl mozognak bizonyos meghatározott pontok körül (7). Bár egy bizonyos adott test, például a kőszikla, látszólag nyugalomban van, mindössze is csak annyit mondha-tunk, hogy nem változnak azok a pontok, a melyek körül az egyes molekulák elmozdulnak.
Ezt előrebocsátva, a tapasztalás arra tanít, hogy bármely élettelen test mindaddig megmarad nyugalmi vagy mozgási állapotában, míg valamely külső ok reája nem hat.
Hogy a magára hagyott test nyugalomban marad, nyilvánvaló dolog; nem ilyen nyilvánvaló azonban, hogy mozgását is megtartja, mert inkább azt látjuk, hogy a testek megállanak. Mindazonáltal ha figyelmesebben vizsgáljuk a körülményeket, melyek között a testek rendszerint mozognak, meggyőződünk, hogy nem maguktól állanak meg, hanem más testek hatása miatt. Valóban, egy golyó, mely bizonyos lökést kapott, csakhamar megáll a talajon, tovább elmegy a teke-posztón, még tovább mozog a jégsíkon, és mozgása még tovább eltartana, ha nem találna ellenállásra (surlódásra) még a jégen való csúszáskor is, és határtalanul eltartana, ha még levegőbe se volna merítve.
Valamint egy test nem indulhat magától mozgásnak, épen úgy nem gyorsíthatja meglevő mozgását, és a mint nem állhat meg magától, ép olyan kevéssé lassíthatja mozgását és nem változtathatja meg mozgása irányát. Feltéve tehát, hogy a térben egy test egyedül volna és ha mozgását nem anyagi pontokra vonatkoztatva tanulmányozhatnók, szükségképen felismernők, hogy vagy abszolut nyugalomban van, vagy pedig állandó sebességgel és egyenes vonalban örökösen mozog tovább.
Ez a mechanika első törvénye, melyet a tehetetlenség törvényének nevezünk.
15. ábra. Keringő mozgás. |
29 . A testek belsejében a molekulák bizonyos szilárd helyzetek közelében maradnak, s ennélfogva közöttök bizonyos hatásnak kell lennie, mely nélkül mindegyikök egy egyenes vonal mentén tovamenne és a test széthullana. Ugyanígy a Földnek a Nap körüli keringése az egyetemes vonzás hatásának tulajdonítandó; ha ez megszünnék, az A-ban (15. ábra) levő Föld, miként a parittyával elhajított kő, a pályához vont AB érintőt követné (17). |
Eddigelé semmi változás sem volt kimutatható a Föld pályájában, mely mindig egyazon, a körtől kevéssé eltérő ellipszis marad; és ez a változatlanság a mozgás első törvényéből szükségképen következik, feltéve, hogy a Föld az ő légkörével együtt útjában semmiféle ellenálló közeggel nem találkozik. (*) Mindazonáltal alapos okaink vannak feltenni, hogy az egész világ-teret betölti egy ilyes közeg (a kozmikus éter), mely azonban annyira ritka, hogy évszázadok hosszú sora kivántatnék arra, hogy a földpálya méreteire észrevehető hatással lehessen.
30
. A tehetetlenség törvénye oda utal, hogy valahányszor valamely test nyugalmi vagy mozgási állapotában változást figyelünk meg, ki kell fürkésznünk ennek okát; azt az okot, mely valamely test állapotát módosítja vagy módosítani törekszik, erőnek nevezzük. Ilyen erő például az egyetemes vonzás, a nehézkedés, a surlódásbeli ellenállás stb.Az erők hatásai sokfélék. Néha két vagy több erő közönbösíti egymást, vagy mint mondani szokás, egyensúlyt létesít, azaz a testet meghagyja nyugalmában vagy mozgásában, mintha nem is működnék; néha az erők megváltoztatják a testek alakját vagy térfogatát, majd mozgásnak indítják, megállítják, gyorsítják, vagy mozgásuk irányától eltérítik; de mindezen hatásokra mindig bizonyos időt kivánnak. Midőn hirtelen vál-
(*) A valóságban a bolygók pályái alá vannak vetve kicsiny változásoknak, de ez nemcsak hogy meg nem dönti a tehetetlenség törvényét, hanem inkább még mellette tanuskodik, mivel ezek a változások. a többi égitesttől az illető bolygóra való hatásoknak tulajdonítandók.
tozásokat látunk, ez azt jelenti, hogy a változásokat nagyon intenzív erők olyan rövid időben létesítik, melyeket mar meg sem figyelhetünk. Igazi és tulajdonképeni pillanatnyi erők nincsenek a természetben, mert pillanat az időre vonatkozólag azt jelenti, a mit a pont a vonalra vonatkozólag jelent.
Ha a puskagolyó átlyukaszt egy igen finom fonálon függő lapot, ha a hirtelen ütés ketté tör egy fapálczát, a nélkül, hogy kár esnék a két pohárban, melyekre a pálcza fel van támasztva: ez azt bizonyítja, hogy nem volt elegendő idő, hogy a mozgás a megütött részektől átvitessék a messzebb fekvőkre. Ugyanezen okból a tapasztalatlan lovagló hátra bukik, ha a ló előre ugrat, és a ló feje fölött bukik le, ha hirtelen megáll. Hasonló módon magyarázható meg a következő kísérlet: Valamely A fémgolyó (16. ábra) czérnaszálon függ s a golyóra is ugyanilyen szál van függesztve, s ehhez pedig a B markolat van kötve. Ha a markolatot lassan húzzuk, a felső szál szakad el, ha pedig megrántjuk, az alsó fog elszakadni. |
16. ábra. A hatás idejének kimutatása. |
31
. Mindannyiunknak az erőről való fogalma azzal az érzéssel társul, mely bennünk gerjed, midőn valamely tárgyat húzunk vagy tovatolunk és a mit feszítésnek vagy nyomásnak vagy általában erőlködésnek szoktunk nevezni. Hasonló erőlködéssel jár valamely testnek tartása, s ennélfogva az erők ránk nézve akként nyilvánulnak, mint igazi és valódi, a súlynak nevezett erőhöz (12) hasonlítható nyomások, s legott felfogjuk, hogy az erők mérésnek alávethető mennyiségek.Két erő ugyanis egyenlő, ha egyikök a másik helyett ugyanazon körülmények között ugyanazt a hatást létesíti, azaz
egy harmadik erő hatását semlegesíti, mint a mikor mindegyikök például egy fonálra függesztett testet el bír tartani; és a kétszer, háromszor, stb. akkora erők azok, melyek egyazon fonálra függesztett és az előbbenivel azonos két, három stb. testet el bírnak tartani. Ha tehát erőegységül vesszük azt az erőt, mely egy köbczentiméter vizet a megfigyelés helyén tartani bír, valamely tetszés szerinti erő intenzitását ki fogjuk fejezni azon grammok számával, a melyeket az illető erő el tud tartani.
17. ábra. Dinamométer. |
32
. Különböző erőknek egymás között való összehasonlítására jó sikerrel használhatók a rugós dinamométerek, melyek a rugalmasságon alapulnak, és a melyek szabatos eredményeket adnak, ha teljesítve van az az egy feltétel, hogy a meghatározott alakváltozás mindig ugyanazt az erőt kívánja meg. A 17. és 18. ábra három dinamométert tüntet elő, melyekben az aczélrugó alakváltozása egy mutatót mozgat a skála előtt, melyet a műszerkészítő akként állít elő, hogy a rugót közvetetlenűl megterheli beosztott súlyokkal, vagyis a gramm többszörösével és hányadrészeivel. Használatuk előtt azonban czélszerű, hogy ilyen súlyok segítségével megbizonyosodjunk, vajjon a rugó rugalmassága változatlan maradt-e, hogy szükség esetén a skála adatait kijavíthassuk.Már most a közvetetlen megfigyelésekből kitűnik, hogy egyazon test alkalmazása esetében az igaz és igen érzékeny dinamométeren ugyanazt a skálarészt olvassuk le mindaddig, míg egyazon helyen maradunk; de a leolvasás országok szerint változik, nevezetesen pedig csökken, ha a sarkoktól az egyenlítő felé megyünk, vagy ha a tenger színe fölött emelkedünk. Ebből következik, hogy a gramm nem abszolut és változatlan erőegység; de ha figyelembe vesszük, hogy az egymástól nem messze levő helyekre nézve a változások csekélyek, szembeötlik, hogy nem jár bajjal, ha a gyakorlatban ilyetén egységet fogadnnk el. Egyelőre mi is el fogjuk fogadni, fentartván magunknak, hogy később (77) egy valóban abszolut erőegységet válasszunk, a milyenre a tudományos munkálatokban szükség van. |
18. ábra. Dinamométerek. |
33
. Valamely erőnek nagysága vagy intenzitása még nem elegendő az erő leirására; ismernünk kell még támadáspontját, vagyis azt az anyagi pontot, melyre az erő közvetetlenűl hat, továbbá irányát, vagyis azt az irányt, melyet a támadáspont követne, ha az erőnek szabadon engedhetne.
19. ábra. Az erő ábrázolása. |
Valamely erőnek ez a három jellemzője előtüntethető egy egyenes vonal segítségével, melynek hossza kifejezi az intenzitást (például 1 cm megfelel 1 grammnak, és a czentiméter többszörösei és részei megfelelnek a gramm ugyanazon többszöröseinek és részeinek), egyik végpontja, például A (19. ábra), megjelöli a támadáspontot, B nyílhegy
pedig a tájékot mutatja, a mely felé hat. Jól megjegyzendő, hogy ha valamely AB erőről van szó, mindig A értendő a támadásponton, és hogy ez a B felé való mozgásra van késztetve.
34
. Némely erő közvetetlenül hat a testek valamennyi atómjára, mint például a nehézség; mások csak a felület pontjaira, mások végre csak néhány külön-külön pontra hatnak. Hogy a legutóbbi esetben való hatásmódjukat megértsük, a rugalmasságra vonatkozó néhány fogalmat kell megismertetnünk. Előrebocsátottuk már (29), hogy valamely test részecskéi között kölcsönös hatások, úgynevezett molekulai erők vannak, melyek meghatározzák a test összefüggését. Ezen erők intenzitása az atómok minden legcsekélyebb elmozdulására akként változik, hogy az erők a külső nyomásokkal vagy húzásokkal egyensúlyt tartanak, és hogy valamely adott külső hatásnak minden testre nézve meghatározott csoportosulás felel meg.A külső erők megszüntével a molekulai erők (rugalmas erők) mozgásnak indítják a részecskéket és visszavezetik őket kezdetbeli kölcsönös távolságaikra (rugalmasság), ha ugyan bizonyos határok meg vannak tartva, melyek az egyes testek szerint változnak (rugalmasság határa); mely esetben maradandó alakváltozás állhat he, de még a részecskék szétválasztása is bekövetkezhetik.
Tegyük már most fel, hogy valamely test egyik pontjára egy erő támad. Ez közvetetlenűl egy részecskét mozdít meg, s e részecske a többihez képest elmozdulván, megmozdítja a szomszédosokat, melyek megint a maguk részéről a távolabb fekvőkben fognak elmozdulásokat létesíteni, és így tovább, mígnem bizonyos feszítés vagy nyomás fog nyilvánulni, a mennyiben a testet szilárdan tartjuk, vagy pedig a mozgás az egész testtel közlődik. Ha például az asztalra fektetünk egy hosszú gummicsövet s az egyik végén húzzuk, észrevehetjük, hogy előbb hosszabbodik meg, mintsem mozgásnak indulna.
41 35
36
. Két egyenlő és ellenkező erő, mely egyazon egyenes mentén egy rideg, szabadon mozdítható rúd végein hat, nem idéz elő mozgást, és azt mondjuk, hogy egyensúly áll fenn; de nem volna szabatos, ha azt mondanók, hogy ez a két erő megsemmisíti egymást, mert a valóságban, ha nem létesítenek is szembeötlő hatást vagyis mozgást, egy másik hatást idéznek elő: megváltoztatják a test alakját, a melyre hatnak. És csakis emez alakváltozások elhanyagolhatósága miatt, vagy azért, mert egyelőre nem akarjuk őket figyelembe venni, tesszük fel, hogy ez a két erő nem idéz elő semmi változást a mozgékony test állapotában. Ezt előrebocsátva, ha a két erő egyikének támadáspontja nem a rúd végén, hanem saját irányának bármely pontjáhan volna, megváltoznék ugyan a test belső állapota, de kifelé nem nyilvánulna semmi változás; ily értelemben meg van engedve valamely erő támadáspontját átvinni az irányába eső bármely pontba, ha ugyanez a pont ridegen össze van kötve az előbbenivel.37
. Hasonló okok miatt két egyenlő erő, mely egy kötél bármely két pontjára hat, egyensúlyban fog lenni nem csupán akkor, midőn ez a kötél egyenesre van kinyujtva, ha-nem akkor is, midőn egy pont körül van vezetve, a mely körül szabadon futhat és az erők két darabját a saját irányukban feszíti. És a feszítés a kötél egész hossza mentén állandó marad abban az esetben is, ha egyik vége meg van erősítve például egy falra; mert ekkor az itt támadó erő az a rugalmasság, melyet a falban a húzás gerjesztett.
Ezen kívül megjegyzendő, hogy a hajlékony szál, mely egy pontban meg van erősítve, egy másikban pedig valamely erő hatásának ki van téve, az erő iránya menti egyenesben fog kinyulni. Így történik ez a 20. ábrán látható függő ónnal is mely a nehézség irányának meghatározására való s mely irányt függélyesnek mondunk.
20. ábra. A függélyes meghatározása.
Mindezeket szem előtt tartván, elmondhatjuk, hogy valamely testre ható két vagy több erő egyensúlyban van, ha eme test nyugalmát vagy mozgását nem másítja meg. Az erők egyensúlyának tudományát statikának nevezzük. Jóllehet minden tétele külön esetként vezethető le az erőktől létesített mozgások tanulmányozásakor, azt hisszük mégis, hogy haszonnal fog járni az olvasóra nézve, ha előtüntetjük, hogy e tételek miként tárgyalhatók önállóan is.