III. FEJEZET
AZ ERŐK EGYENSÚLYA A GÉPEKEN
65 56.
Ha azt látjuk, hogy e czélra az ellenállásnál kisebb erő elegendő, azt mondjuk, hogy a gép előnyt nyujt, és a gép nyujtotta előnyt rendszerint az ellenállásnak az őt ellensúlyozó erőhöz való viszonyával mérjük.
Általában véve nem fogjuk tekinteni a gép súlyát, szilárd részeinek tökéletlen merevségét és a kötelek tökéletlen hajlékonyságát, valamint a surlódást és a mozgást gátló bármely más akadályt. De szükség esetén elő fogjuk tüntetni, hogy eme különböző körülményeket miként tarthatjuk számon.
57.
A számtalan gép között meg szoktunk különböztetni néhányat, melyeket egyszerűeknek nevezünk, mert nem bonthatók szét olyan részekre, melyek mindegyike maga is gépül használható volna. Rendszerint a következők soroltatnak az egyszerű gépekhez:| 1. Emeltyű. { | Hengerkerék, Csiga. |
3. { | Lejtő, Ék, Csavar. |
E gépeket három csoportba soroztuk a szerint, a mint egy
pont körül forgó testből állanak, vagy egy tengely körül forgóból; vagy pedig egy felületből, a melyen más test elmozdulhat.
58.
Az emeltyű merev rúd, mdy egy szilárd pontra támaszkodva, e pont körül foroghat. Ha a rúd egyenes vonalú, az emeltyűt egyenesnek (51. és 52. ábra), különben pedig sarlósnak (53. ábra) mondjuk. Az emeltyű kétkarú, ha a támasztó pont az erő és az ellenállás támadáspontja között fekszik (51. és 53. ábra); egykarú, ha az ellenállás támadáspontja az eró és a támasztó pont között fekszik (52. ábra), vagy pedig ha az erő a támasztó pont és az ellenállás között fekszik.
51. ábra. A rúd mint kétkarú emeltyű. |
52. ábra. A rúd mint egykarú emeltyű. |
53. ábra. Sarlós emeltyű. |
Az emeltyűnek a támasztó pont és az erők támadáspontjai között fekvő két részét valódi emeltyűkarnak nevezzük; ezektől megkülönböztetjük az 51. pontban meghatározott karokat. Így az 53. ábrában CA valódi kar, CM pedig az A pontban támadó P erőnek karja. |
Az 53. pontban mondottak szerint egyensúly esetében kell, hogy az erőnek és az ellenállásnak a támasztópontra vonatkoztatott nyomatéka egyenlő nagyságú és ellenkező jelű legyen.
Ha tehát feltesszük, hogy A-ban (53. ábra) a P erő, E-ben pedig a Q ellenállás támad, úgy a
feltételek egyikének kell állania, melyet úgy fejezünk ki, hogy azt mondjuk, hegy egyensúlykor az erők fordított viszonyban vannak a megfelelő karokkal.
Látjuk, hogy a kétkarú emeltyűnek lehet előnye; az egykarúnak mindig van előnye, ha az ellenállás az erő és a támasztó pont között fekszik; soha sincs előnye, ha az erő az ellenállás és a támasztó pont között van.
Ha az emeltyű egyensúlyban van, ez annak a jele, hogy az erő és az ellenállás eredője átmegy a tánnasztó ponton, és erre bizonyos nyomást fejt ki, mely az erők összetételének szabályai (39. 43.) szerint könnyen kiszámítható.
59.
Az emeltyűnek egyik fontos alkalmazása a mérleg. Azonban ezen készülék tárgyalásakor szükségképen figyelembe kell venni az alkotó részek súlyát.A mérleg (54. ábra) áll a rúdból és a serpenyőkből. A mérlegrúd hosszúdad test, mely középvonalára vonatkozólag szimmetrikus; középvonalában átjárja egy háromoldalú aczélhasáb: az él, mely alsó élével aczélból vagy kemény kőből való két lapra támaszkodik; a rúd végeire a serpenyők horgokkal függeszthetők fel.
A mérleget úgy szokás elkészíteni, hogy magára hagyatva, vagyis csupán csak saját nehézségének hatása alatt olyan helyzetet foglaljon el, melyben rúdja vízszintes.
Hogy jobban felismerhessük, vajjon vízszintes-e a rúd, egy lefelé forditott hosszú mutatóval (nyelvvel) van ellátva, melynek csúcsa egy beosztás előtt jár; a készülék állását alapzatának csavaros lábaival szabályozzuk. Hogy valamely mérleg igaz legyen, megkivántatik, hogy a midőn a csészék egyenlő súlyokkal vannak terhelve, a mutató a zéruson, helyesebben, az üres mérleg egyensúlyi helyzetében állapodjék meg. Ez akkor fog bekövetkezni, ha ebben a helyzetben a mérlegrúd súlypontja az él alatt fekszik, és ha a két kar egyenlő, mert csakis ezen
feltétel mellett lehet az egyenlő súlyok nyomatékának összege zérus (53).
De ezenkívül megkivántatik még, hogy a mérleg érzékeny legyen, azaz, hogy a két terhelésnek adott csekély különbségére kibillenjen, vagy más szavakkal: megkivántatik, hogy adott terheléskülönbségre a mutató kibillenése a lehető legnagyobb legyen. E végből kell, hogy a karok hosszúak legyenek, hogy a rúd könnyű legyen és hogy súlypontja a mellett, hogy a forgástengely alatt marad (mert máskülönben az egyensúly esékeny volna), e tengelyhez igen közel essék.
54. ábra. Pontos mérleg.
Minthogy azonban bizonyos esetekben inkább gyors, mint
igen pontos mérlegelés kivántatik meg, kényelmünkre van, ha mérleg érzékenysége változtatható; ez akként érhető el, hogy az ábra legtetején látható csavarfej feljebb emelésével vagy lejebb eresztésével a mérlegrúd súlypontját elmozditjuk. De ha ezt a csavarfejet egyszer már beállítottuk, czélszerű, hogy az érzékenység foka a teljes megterheléstől függetlenül ugyanakkora maradjon. E végből kell, hogy a három felfüggesztési pont egy egyenes vonalba essék és hogy a rúd terheléskor ne hajoljon meg. A szabatos mérlegek üvegházban vannak elhelyezve, a mi megakadályozza, hogy légáramok a mérlegelést zavarják.
Mivel nem lehetséges két teljesen egyenlő mérlegkart készíteni, az esetben, midőn igen nagy szabatosság kívántatik, a kettős mérés módszeréhez folyamodunk. Ez abban áll, hogy a megmérendő testet söréttel vagy más apró testekkel ellensúlyozzuk, ezután hiteles súlyokat teszünk a test helyébe mindaddig, míg a mérlegrúd az üres mérleg egyensúlyi helyzetébe vissza nem tér. A nem igaz mérleggel való szabatos mérésnek egy másik igen kényelmes módja abban áll, hogy az egyik serpenyőhe egy ismeretes súlyrendszert teszünk, a másikba pedig annyi sörétet, a mennyi a súlyrendszer súlyát kiegyenlíti; ezután ebbe a második serpenyőbe tesszük a testet, melynek súlyát megadják azok a grammok és hányadrészgrammok, melyeket ki kell szednünk, hogy a mntató az egyensúlyi helyzetbe térjen vissza.
Lássuk még az55. ábrában előtüntetett mázsáló vázlatát is, a melyben a Q súly, az úgynevezett körte, állandó marad és csak a C támasztó pontra vonatkozó karját változtatjuk mindaddig, míg a BA billegő vízszintes helyzetet nem vesz föl. A körte súlyával egyensúlyozott test P súlyát a karnak D pontjában olvassuk le.
Eme beosztás elkészítésére megkeressük azt a pontot, a melyre a körte helyezendő, hogy a terheletlen mázsáló vízszintes legyen, és e pontra zérust jegyzünk; ezután a horogra pél-
dául 1 kilogrammot akasztunk és a körte új állását meghatározó pontra az egyes számot jegyezzük. A közt beosztjuk, például 20 egyenlő részre és a beosztást tovább visszük egészen B-ig.
55. ábra. A mázsáló.
Ez esetben minden rész megfelel 50 grammnak. Ha ritkább beosztást kivánunk, úgy hogy a kisebb hányadrészek kényelmesen leolvashatók legyenek, vagy könnyebb körtét, vagy pedig hosszabb AC kart használunk és ellenkezőleg járunk el, ha adott hosszúságú mázsálóval nagy súlyokat akarunk mérni. E czélra szolgál a közelebb fekvő második támaszték és az alsó beosztás.
56. ábra. Hengerkerék.
71 60.
Az 57. ábrában előtüntetett gép, a felhuzó gép, hasonló a kerekes kúthoz, s arra való, hogy a tengelyre merőleges E erővel terhet emeljünk fel.
57. ábra. Felhuzó gép.
Ugyanezt a gépet vitlának nevezik, ha olyan alakú, mint az 58. ábrán látható, és ekkor vízszintes irányban való húzásra használják.
58. ábra. Vitla.
Mindegyik esetben, ha feltesszük, hogy a két erő a tengelyre merőleges síkokban hat, alkalmazhatjuk az 54. pontbeli tételt, és mondhatjuk, hogy egyensúly esetében a következő feltételnek kell állania :
Fr = Pr',
hol F az erőt, r a karját, P és r' pedig az ellenállást és a henger sugarát jelenti.
61.
A csiga olyan korong, melynek karimáját barázda futja körül; ebbe kötél van vetve, és egy villában forgékony tengelyre van szerelve. A csigát állónak nevezzük (59. ábra), ha tengelye mindig egyazon magasságban marad, s ekkor a két erő a kötél két végén támad; mozgónak nevezzük (60. ábra), ha használat alkalmával tengelye elmozdul, s ekkor az ellenállás a villára hat, az erő pedig a kötél egyik végére; a kötél másik vége meg van erősítve.
59. ábra. Álló csiga. |
60. ábra. Mozgó csiga. |
Az álló csiga egyensúlyban van, ha az erő egyenlő az ellenállással, mert mind a két erőnek egyazon karja van, mely nem egyéb a barázda sugaránál; csakis arra való, hogy az erőnek kényelmesebb irányt adjon.
A mozgó csiga, mikor a két kötéldarab párhuzamos (60. ábra), egyensúlyban van, ha az erő egyenlő a felemelendő teher felével,
mert a feszítés egyenletesen oszlik meg a kötél egész hossza mentén (37).
62.
A nehéz test nem maradhat egyensúlyban a lejtőn, vagyis a vízszinteshez hajló síkon vagy vonalon (55), ha csak a saját súlyán kívül nem hat reá legalább is még egy erő, mely rendszerint a surlódás. Ha azonban a surlódást egyelőre nem tekintjük és egy P súlyú testet veszünk figyelembe, mely valamely F erő hatásának van alávetve, úgy az egyensúlynak az a feltétele, hogy P-nek és F-nek olyan eredője legyen, mely a lejtőre merőleges és támadáspontjaa támasztó lapon belül fekszik.A két erőnek tehát a lejtőre merőleges egyazon síkban kell feküdnie. (61. ábra) P és F síkja legyen a rajzlap síkja, AB és BC pedig legyen a rajzlap átmetszete a lejtővel és a vízszintes síkkal. Ha valamely tetszésszerinti A pontból az AC merőlegest húzzuk, ezt az AB hosszaságú és GB alapú lejtő magasságának nevezzük. |
61. ábra. Egyensúly a lejtőn. |
62. ábra. Készülék a lejtő törvényének kimutatására.
63. ábra. Egyensúly a lejtőn. |
Legyen először is az F erő párhuzamos AB-vel, tüntesse elő HF, és a HP-vel ábrázolt P erő irányát messe H-ban (61. ábra). Megszerkesztjük a parallelogrammot; mivel a HN átszögellőnek egyensúlykor merőlegesnek kell lennie AB-re, az ABC és NFH hasonló háromszögek a következő arányokat adják: |
|
= |
|
, |
|
= |
|
, |
vagy
F = P tang α,
ha α jelöli a lejtőnek a vízszinteshez való hajlását. Eme viszonylatok kisérletileg beigazolhatók a 62. ábrabeli készülékkel.
Ha azután az F erő vízszintesen hat (63. ábra), hasonló módon találjuk, hogy
|
= |
|
= |
|
, |
vagy
F = P tang α.
63.
Az ék valamely kemény anyagból való háromoldalú, és pedig rendszerint egyenlőszárú háromoldalú hasáb, melyet két erősen összetartó testnek szétfeszítésére, fának, köveknek hasítására stb. használunk. Minden szerszám, a melyet metszésre használunk, minő a kés, olló, véső, stb., mind megannyi ék. A 64. ábra egy ilyen hasábnak merőleges metszetét tünteti elő; az egyenlőszárú háromszög csúcsában van az ék éle, alapja pedig az ék gerincze. A gerinczet érik a kalapács ütései, s bárminő legyen is az ütés iránya, a ható erő mindig szétbontható két erőre: az egyik az ütött felületre merőleges, a másik vele párhuzamos. Ez utóbbi a kalapácsot az ék gerinczén csak továbbcsúsztatja, és csakis az előbbeni marad hatásos. Ha most feltesszük, hogy az ellenállás merőleges az ék élére, a lejtő esetéhez hasonló módon kimutatható, hogy az oldallapok mindegyikére merőleges nyomást ébreszt, melyet a következő arány határoz meg:
A surlódás hatása azonban olyan jelentős, hogy ezen aránynak mindössze is csak az a gyakorlati értéke van, hogy megmutatja, hogy a gerincz csökkentésével, vagyis az ék élesbítésével az előny növekszik. |
64. ábra. Az ék. |
64.
A csavar úgy a lejtővel, mint az emeltyűvel rokonságban levő gép. Szerkezetének megismerésére tekintsünk egy derékszögű háromszöget (65. ábra), mely egy henger körül akként van tekerve, hogy az ae' befogó a henger egyik alkotója legyen. Az átfogó egy görbe vonallá, csavarvonallá fog alakulni. Azt az ac' darabot, melyet egy alkotó mentén a görbe vonallal való egymásra következő két találkozás határoz meg, a csavarmenet magasságának nevezzük.Hogy határozott esettel legyen dolgunk, tegyük fel, hogy az r sugarú henger függélyes, és tegyük fel, hogy a csavarvonalon egy p súlyú pont nyugszik; nyilvánvaló, hogy e pont valamely erő segítsége nélkül úgy szállana le rajta, mint valami lejtőn, melynek magassága megegyezik a csavarmenet h magasságával,
alapja pedig a hengerfelület merőleges metszetének 2πr kerülete. Ha az erő vízszintes és a hengerhez érintőleges, egyensúlykor kell, hogy a
|
= |
|
= |
|
feltétel álljon (62).
Ha azonban a súlyos pontra f helyett egy vele párhuzamos q erő, és pedig a ponton át a henger tengelyére merőlegesen emelt R emeltyűkar közvetítésével hat, úgy kell, hogy
qR = fr
legyen (54, folyomány), vagyis hogy
|
= |
|
= |
|
legyen; ha most ezen viszonyhól és a fentebbiből fet kiküszöböljük, kapjuk, hogy
|
= |
|
, |
hol nem szerepel a henger r sugara, vagyis a csavarvonal és a tengely közötti távolság. Ennélfogva a q erőnek a p ellenálláshoz való viszonya, feltéve, hogy a csavarmenet magassága állandó marad, változatlan értékű, bármekkora is a henger sugara.
Ezt előrebocsátva, könnyű leírni a csavart és felkeresni egyensúlya feltételét. A csavar, vagy jobban mondva a csavarorsó hengeralakú test, melyet kiszökellő tekervények futnak körül, melyeket vagy egy háromszög (66. ábra), vagy pedig egy
66. ábra. Éles csavar. |
67. ábra. Lapos csavar. |
derékszögű négyszög (67. ábra) akként hoz létre, hogy egyik oldalával az egymásra következő hengeralkotókon, egyik csúcsával pedig egy csavarvonalnak megfelelő pontjain mozog. A tekervény minden pontja tehát különböző sugarú csavarvonalhoz tartozónak tekinthető, melyeknek menetmagassága azonban egyenlő.
A csavarorsó össze van kapcsolva a csavartokkal, vagy csavaranyával, mely az orsó egy részének lenyomataként tekinthető; e szerint a belsejében barázdával van ellátva, mely pontosan magába foglalja az orsó tekervényeit.
Ha most a két darab egyike meg van erősítve, a másika csak úgy mozoghat, ha a henger tengelye körül forog, s ugyanekkor ennek irányában tolódik el.
68. ábra. A prés.
Tegyük fel, hogy a csavartok van megerősítve, és tegyük fel, hogy a függélyes állásban levő orsó egy P súlyú testtel meg van terhelve. Ez a csavartokkal érintkező pontok mindegyikét nyomja, és hogy a mozgást meggátoljuk, az előbb tekintett q-hoz hasonló ugyannyi erőt kell alkalmaznunk. Ezeket Q eredőjükkel helyettesíthetjük, melyet a
|
= |
|
képlet határoz meg.
Látjuk tehát, hogy a csavar egyensúlyakor, nem tekintve a mindenkor igen jelentős surlódást, az erő úgy viszonylik az ellenálláshoz, mint a csavarmenet magassága ahhoz a kerülethez, melyet az erő támadáspontja leír.
Ezt a gépet a minő a 68. ábrában látható prés, leginkább erős nyomások kifejtésére használják, de nagyon sokféle más alkalmazása is van.
65.
Az olyan csavar, mely maga nem mehet előre, minden körülforgásra a csavartokot egy menetmagassággal hajtja előre, és ha a menetmagasság csekély, az előremenet alig észrevehető fokozatokban létesíthető, a mint ennek kell is lennie, midőn pl. két pontot össze akarnnk hozni; így származnak a mérő műszerekben alkalmazott mérő és beállító csavarok. Ha azután a csavarfej a tengelyre merőleges koronggal van ellátva, mely a kerületén egyenlő részekre van beosztva, úgy mikrométeres csavarral van dolgunk. A csavarfejnek 1°-nyi szögmenti elmozdulása a csavarmenet magasságának 1/360 részével egyenlő elmozdulást okoz. Ily módon a csavart az igen kicsiny tárgyak mérésére használhatjuk.66.
Valamely gép előnyének azt a viszonyt neveztük (56), mely a P ellenállás és az őt egyensúlyozó Q erő között fennáll, és láttuk, hogy a leírtuk gépek [!] egynémelyikében az elérhető előnynek elméleti szempontból nincs határa. Így például a hengerkerék esetében (60) az egy adott ellenállás egyensúlyozására megkivántató erő annál kisebb, mentül nagyobb a kerék sugara a hengeréhez képest. De a gyakorlatban túlságos nagy kerekek nagyon költségesek és kényelmetlenek volnának, a nagyon vékony hengereknek pedig nem volna meg a megkivántató szilárdságuk. A különbségi keréknek (69. ábra) nincs meg ez a rossz oldala; előnyét a következő képlet fejezi ki:
|
= |
|
, |
melyet az 54. és 61. pontbeli tételek segítségével vezethetünk le, s a melyben M, R, r sorban a forgantyú hosszát, a nagyobb és a kisebb henger sugarát jelenti. Nyilvánvaló, hogy az előnyt az R–r különbség csökkentésével tetszésünk szerint fokozhatjuk.
69. ábra. Különbségi kerék.
67.
De a gépeknek ezzel az úgynevezett előnyével szemben már most kell hangsúlyoznunk egy igen fontos körülményt, mely mindenkor fennáll, s a mely ekként fejezhető ki: a mit erőben nyerünk, elvesztjük sebességben.Lássuk például, vajjon áll-e ez a külónbségi kerék esetében. Tegyük fel, hogy egyenletes mozgással hajtjuk, s hogy a két erő az egyensúlyhoz megkivánt viszonyban van. Nyilvánvaló, hogy a P súly a vastagabb hengerre fel- és a vékonyabb hengerről letekerődző kötélrészek félkülönbségével emelkedik, s ennélfogva a forgantyúnak egy egész körülforgásakor az emelkedés
|
= π(R–r), |
s ugyanekkor az erő támadáspontja a 2πM kerületet írja le. Az előző pontbeli képlet figyelembe vételével látjnk tehát, hogy az erők támadáspontjaínak egyazon időben leírt útjai magukkal az erőkkel fordított viszonyban vannak.
70. ábra. csigasor. |
71. ábra. csigasor. |
Lássuk ugyanezt a csigasorra nézve (70. és 71. ábra). Ha feltesszük, hogy az alsó villát tartó m kötéldarab párhuzamos, kell hogy P = mQ legyen, mert a kötél valamennyi pontjában egyenlően van feszítve (37). Az ábrák esetében a kötéldarabok szám hat lévén, az erő hatodrésze a tehernek. Azonban a teher minden czentiméternyi emelkedésére az erő támadáspontjának 6 czentiméterrel kell elmozdulnia. |
