IV. FEJEZET
DINAMIKA
68.
Mondottuk, hogy a kinematika a mozgással foglalkozik, a nélkül, hogy a mozgást létesítő okokkal és a mozgó test anyagával törődnék; a statikában figyelembe vettük ugyan a mozgás okait, az erőket, de arra az esetre szoríkoztunk, melyben hatásaik egymást lerontják. Most azonban meg fogjuk vizsgálni az erők, a mozgás és a mozgó test anyaga közötti kapcsolatot. A tudománynak ez a része: a dinamika. NEWTON megmutatta, hogy az egész dinamika a következő három törvényből vezethető le, melyeknek elseje, lényegét tekintve, LEONARDO DA VINCI-nek, másodika GALILEI-nek, harmadika pedig magának NEWTON-nak köszönhető:
81
I. Minden test megmarad nyugalmában, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgásában, míg mozgásbeli állapotát valamelyes külső ok meg nem változtatja.
II. A mozgás változása arányos a ható erővel, s annak az egyenesnek irányában létesül, melynek mentén az erő hat.
III. Minden hatást mindig épen akkora és ellenkező visszahatás kisér, vagyis két test kölcsönös hatása mindig egyenlő és ellenkező irányú.
Eme törvények a tapasztalatból vannak merítve, és nem bizonyíthatók be épen úgy, a mint nem bizonyíthatók be a geométria axiómái; az egyedüli különbség csak az, hogy míg az axiómák önmaguktól nyilvánvaló igazságokként tárulnak elénk, addig a dinamika törvényei csak azokra nézve nyilvánvalók, a kik a fizikai tüneményekkel megbarátkoztak.
Azon leszünk, hogy e törvényeket fejtegessük, hegy egész jelentőségöket feltárjuk; továbbá néhány igen fontos feladatra fogjuk őket alkalmazni.
69.
Az első törvény nem egyéb a tehetetlenségnek már tárgyalt (28) törvényénél.
A második törvény teljes megértésére először is meg kell állapítanunk, hogy mit értünk a mozgás változásán. Ha egy egyedüli testről van szó, a mozgásnak egy adott irányban való változása alatt nem érthetünk egyebet a sebességének ebben az irányban számított változásánál.
És ha a mozgásváltozásokat össze akarjuk hasonlítani az őket létesítő erőkkel, fel kell tételeznünk, hogy az erők egyenlő időkön át hatottak, állandóan megtartván intenzitásukat ezen idők tartamában.
Ezt előrebocsátva nyilvánvaló, hogy egy állandó erőnek a testtel, melyre hat, egyenlő időkben egyenlő sebességváltozásokat kell közölnie. Vagyis, ha 1 másodpercz alatt γ sebességváltozást idéz elő, 1 másodpercz alatt
82
sebességváltozást fog előidézni, vagyis egyenletesen változó mozgást fog létrehozni, a minőt a 21. pontban tanulmányoztunk.
70.
Valamely test, mely a súlyának engedve légüres térben esik, közelítőleg egy egyedüli állandó erő hatásának van alávetve. Azért mondjuk, hogy közelítőleg, mert szigorúan véve a testek súlya a magasság növekedtével csökken (139); de ez a változékonyság nem létesít észrevehető hatásokat mindaddig, míg csekély magasságbeli különbségek forognak szóban; így egy gramm-súly, melyet a tenger színén egy rugós mérleggel helyesnek találunk, 2000 méter magasságban csak egy fél milligrammal nyomna kevesebbet.
Bízvást feltehetjük tehát, hogy minden testnek a magasságtól független súlya van, s hogy ennélfogva, ha a test csak néhány méternyit esik, és pedig szabadon, azaz a nélkül esik, hogy a levegő ellenállásával meg kellene küzdenie: egyenletesen gyorsuló mozgást vesz fel. Ez esetben a gyorsulást g betűvel szoktuk jelölni, és a kísérletek tanusága szerint értéke nálunk mintegy 981 cm,* a mi azt mondja, hogy ha egy másodperezig tartó szabad esés után a Föld megszűnnék a testet vonzani, ez, az első törvénynél fogva (68), másodperczenkénti 981 cm állandó sebességgel mozogna tovább.
2 sec után a sebessége 2×981 = 1962 cm volna, s általában 1 sec elteltével:
és az ezen idő alatt befutott útat a 21. pont (3) képlete adja meg, melyben u=0 és γ=g teendő:
mely képlet azt mondja, hogy a szabad eséssel befutott útak
* Budapesten (GRUBER) 980,837 cm, Rómában (PISATI és PUCCI) 980,38 cm, Párisban 980,96 cm.
83
arányosak a befutásukra megkivántató idők négyzetével, nevezetesen pedig, ha a test a nyugalomból indul ki, az
1 |
2 |
3 |
4 |
... mpercz alatt befutott útak |
491 |
4×491 |
9×491 |
16×491 |
czentiméterre rúgnak. |
Az imént felírt két képlethől a 21. pont (5) képletéhez hasonló következő képlet származik:
Ellenben egy felfelé hajított testnek, most sem tekintve a levegő jelenlétét, egyenletesen lassuló a mozgása, melyet a következő képletek (21) határoznak meg:
hol u a kezdetbeli felszálló sebességet jelenti.
A (4) képletből következik, hogy a test t < u/g időn át emelkedik; t = u/g idő elteltével a sebessége zérus, úgy, hogy ha ebben a pillanatban megszűnnék súlyos lenni, veszteg maradna; t > u/g idő eltelte után pedig sebessége negativvá válik, vagyis a test leszáll. A legnagyobb magasságot, melyet elér, (5)-ből kapjuk, ha benne t = u/g tétetik, mikor is
Az (5) képlet különben még azt is mondja, hogy a befutott út nemcsak elinduláskor egyenlő zérussal, hanem a t = 2u/g idő elteltével is; és a t > 2u/g értékre nézve negativvá válik, mi azt jelenti, hogy a test visszaeséskor túlhaladta a kiindulás pontját.
84
Hogy megtaláljuk azt a sebességet, melylyel ebbe a pontba
visszaerkezik, (4)-ben csak t = 2u/g teendő, mikor is
v = –u,
vagyis a testnek visszaérkezéskor a kezdetbeli sebességgel egyenlő és ellenkező sebessége van. Ha tehát a levegőnek ellenállása nem volna, egy puskagolyó a visszaeséskor épen olyan gyilkos hatású volna, mint az elsütéskor.
72. ábra. Atwood-féle gép. |
71. Hogy a dinamika második törvényét (68) arra az imént tárgyalt esetre nézve igazoljuk, melyben a test egy egyedüli erő hatásának van alávetve, az Atwood-féle géphez folyamodhatunk. E gépnek lényeges része egy csiga, melynek vízszintes tengelye négy keréknek kerületén nyugszik, hogy a surlódás (97) csökkentessék.
A csiga barázdájára selyemszál van vetve, melynek két végén egyenlő súlyok függnek (72. ábra). Ha nem tekintjük a szál súlyát és az ellenállásokat, melyek itt nem létesítenek észrevehető hatásokat (73), a két súly bármely magasságban veszteg marad, vagy pedig az egyik egyenletes mozgással fel-, a másik pedig leszáll; olyan körülmények között vannak tehát, mintha semmi erőnek sem volnának alávetve. |
Ha most eme súlyok egyikéhez m súlyt csatolnnk, ezzel azt
85
érjük el, mintha állandó erő (70) hatna rá, és a nyugalmából kiinduló test egyenletesen gyorsuló mozgást (21) vesz föl, melyet az
képletek határoznak meg.
Beigazolásukra az útakat a czentiméterekre beosztott Q függélyes rúdon olvassuk le, melynek mentén egy-egy asztalka és egy gyűrű erősíthető meg; a befutásukra megkivántató idők a H óraművel mérhetők, a mely másodperczeket üt. Abban a pillanatban, melyben az óramutató a számlap zéruspontján átmegy, a készülék kimozdítja az emeltyűt, s ennélfogva lebukik az a tartó, mely a Q rúd skálájának zéruspontjával szemközt levő súlyt az m pótléksúlylyal egyetemben megtámasztotta.
Először is megkeressük azt a pontot, melyben az A asztalkát meg kell erősíteni, hogy a súly a mozgás kezdetétől számítva 1 sec mulva megüsse. Tegyük fel, hogy ez a pont 10 cm-nél van; ha igaz, hogy a befutott útak, miként az (1) képlet mondja, arányosak az idő négyzetével, a súly 2 sec alatt 10×22 = 40 cm-nyire fog leszállani, 3 sec alatt 10×32 = 90 cm-nyire, és így tovább. Hogy ez valóban úgy van, arról meggyőződhetünk, ha A-t ezekben a különböző távolságokban erősítjük meg.
A gép módot nyujt valamely adott időtartam végén elért sebességnek (19) megmérésére és így a (2) képletnek beigazolására is. Ha ugyanis a gyűrűt a 10 cm-ren erősítjük meg, a pótléksúly, miután a rendszerre 1 másodperczig hatott, a gyűrűben megakad, és az ezentúl másodperczenként befutott út 20 cm-t tesz, miről meggyőződhetünk, ha az alsó asztalkát 20 cm-rel mélyebben, azaz 30 cm-ren, azután pedig 50 cm, 70 cm-ren, ... stb. erősítjük meg. Ily módon ki van mutatva, hogy az időegységben elért sebességnek, vagyis a gyorsulásnak mértéke az ezen idő-
86
ben leírt útnak kétszerese, miként kitűnik az (1)-ből, ha benne t=1 tétetik.
Ezután a gyűrűt 40 cm-en erősítjük meg, az asztalkát pedig még 40 cm-rel mélyebben. Az erő most 2 másodperczig hat, és az ezen idő tartamában elért sebesség másodperczenként 40 cm; ezután, hogy 3 másodperczig engedjük hatni az erőt, a gyűrűt 90 cm-ben erősítjük meg: az asztalkát 150 cm-be helyezve látni fogjuk, hogy a test a következő masodperczbeu egyenletes mozgással 60 cm-t írt le, és így tovább. Egészben tehát azt látjuk, hogy a sebesség az idővel arányosan növekszik, miként a (2) számú képlet megkivánja.
72.
A dinamika 2-ik törvénye még azt is mondja, hogy valamely adott testben egyenlő idők tartamában létesített sebességek arányosak a ható erőkkel.
Álljon ugyanis az M és M' test több, az m pótléksúlylyal egyenlő súlyú korongból. E korongok egyikét vegyük el M-től, és m-mel együtt tegyük M'-hez: az egész mozgó rendszernek (csiga, korongok, pótléksúly és fonálnak) most is ugyanaz az anyagmennyisége van, de a mozgató erő, mely az előbb m-volt, most 3m, és a gyorsulást, mely azelőtt 20 cm volt, most 60 cm-nek fogjuk találni. Ha még egy korongot teszünk át M-től M'-hez, a mozgató erő 5 m-mé válik, a gyorsulás pedig 100 cm és í. t.
Miként ebben a különös esetben, úgy általában is azt fogjuk találni, hogy ez az arányosság fennáll.
Ha tehát γ, γ', γ'', ... a gyorsulások, melyet az F, F', F'', ... állandó erők egy adott testben létrehoznak, úgy
hol M olyatén mennyiség, mely az adott testre nézve állandó és melyet a test tömegének mondunk.
Egy másik testnek M' tömege, melyben ugyanazok az
87
F, F', F'', ... erők a h, h', h'', ... gyorsulásokat létesítik, ekként van meghatározva:
Ha a γ gyorsulások egyike egyenlő a h gyorsulások egyikével, például ha
γ' = h',
úgy
Az (1) alatti viszonylatból tehát következik, hogy egyazon gyorsulásnak különböző testekben való létrehozására a tömegekkel arányos erők kivántatnak meg. Közmegállapodás szerint valamely testnek tömege ugyanezen test anyagmennyiségének mértéke. (V. ö. a 95. pontbeli 88. ábrával.)
73.
Ha már most valamely M tömegű test súlyát P-vel, 1 másodperczig tartó szabad esés után elért sebességét pedig g-vel jelöljük, az (1) képlet szerint:
és ennélfogva (2) szerint, ha minden eső test egyazon g gyorsulásra tenne szert, a testek súlya arányos volna a tömegükkel. Igy tehát a megelőző pontban elfogadott megállapodáshoz képest különböző két testet alkotó anyagmennyiségeknek összehasonlítására csak a két test súlyát kellene összehasonlítani.
A valóságban tényleg úgy áll a dolog, jóllehet, hogy valamely felületes megfigyelő előtt az ellenkező tünemény látszik felmerülni, a mennyiben azt látja, hogy például egy pehely és egy pénzdarab nem esik le egyazon időben. De ezt az eltérést nem a földi vonzásnak, hanem a levegő jelenlétének kell betudni, mely zavaró okként hat. Eltávolítván a levegőt, minden test egyenlő idő alatt esik le egyazon magasságból.
Ez a tény megmutatható olyan csővel, melyben ólom- és parafa-darabkák és papirszeletkék vannak, melyek egymásután
88
esnek le, ha a csőben a levegőt meghagyjuk; de együtt esnek, ha a levegő ki van szivattyúzva. Megmutatható úgy is, hogy egy papirkorongot egy fémkorong fölé helyezünk s a korongokat esni engedjük: egyszerre fogják érni a földet, mintha egymáshoz volnának kapcsolva, ellenben a papiros lassabban esik, ha külön-külön ejtjük le őket. Egyelőre megelégszünk eme durva bizonyítékokkal, s későbbre hagyunk egy igen szigorú bizonyítékot (87, 2). Mindazonáltal annyit meg kell jegyeznünk, hogy a mikor tetemes súlyú testekről, például fémekről, és nem nagy sebességről van szÓ, a levegő zavaró hatása észrevehetetlen marad, miként az Atwood-féle gépre nézve is áll (71).
74.
Az abszolut sűrűség a térfogat-egységben foglalt tömeg:
és mivel a fajsúlyt a térfogat-egységű test súlyaként határoztuk meg (13):
a D súlynak és M tömegnek (3) alatti kapcsolatából a fajsúly és abszolut sűrűségnek hasonló kapcsolata származik, azaz
De a gyakorlatban gyakrabban vétetik figyelembe a viszonylagos sűrűség, mely a 13. pontbeli meghatározás szerint és a súlyoknak a tömegekkel való arányossága miatt még úgy is tekinthető, mint az adott test tömegének viszonya az épen akkora térfogatú mintatest tömegéhez. Ha mintatestül a 4°-ú vizet választjuk, egyazon szám fejezi ki úgy a fajsúlyt, mint az abszolut és a viszonylagos sűrűséget.
75.
A 72. pont (1) képlete:
F = Mγ
kifejezi annak az erőnek F intenzitását, mely az M tömegben γ
89
gyorsulást létesít. Ha most ez az erő t idő tartamában hat, a sebesség, melyet az M tömeg kap, a 71. p. (2) képlete szerint:
v = γt,
tehát a következő egyenlőséget is felírhatjuk:
Ft = Mv.
Egy másik F' erőre nézve, mely egy másik M' tömegre ugyanazon ideig hat, áll, hogy
F't = M'v',
és ha a tömegnek a sebességével való szorozmányát mozgásmennyiségnek nevezzük, látjuk, hogy az erők arányosak azokkal a mozgásmennyiségekkel, melyeket egyenlő idők alatt létrehoznak. Ebből a szempontból kell felfogni a dinamika második törvényének első részét.
Megjegyezzük még, hogy az erőnek a hatástartamával való Ft szorozmányát az erő impulzusának (indítékának) nevezzük.
76.
Mikor változó erőről van szó, mely szintén a mozgás irányában hat, a gyorsulás t idő elteltével ekként van meghatározva (22):
hol F az erőnek t időben való intenzitása, v'–v pedig az M tömegnek a t'–t időközben csakis ezen változó erő hatásától eredő sebessége. A t időben való sebesség:
hol s'–s az az út, melyet az M tömeg az E erő hatása alatt t'–t időben befut.
Ha ismeretes a törvény, mely szerint Faz idővel változik, vagyis ha F ismeretes függvénye t-nek, úgy az integrálszámítás segítségével (l)-ből levezethető v értéke, azután pedig (2)-ből s értéke. Ha ellenben azt a törvényt ismerjük, a mely szerint a változó mozgás létrejön, azaz ha s adva van t-nek függvényé-
90
ben, (2)-ből kiszámítható v és azután (1)-ből kiszámítható a γ gyorsulás, és ekként az erő intenzitását a t idő végén F = Mγ fejezi ki.
77.
Térjünk vissza a 73. pont
képletéhez; ha ebben M=1 tétetik, látjuk, hogy P=g, mi azt mondja, hogy a Föld a tömegegységet g erőegységgel vonzza. Ha tehát a grammot súlyegységül vagy erőegységül (32) a czentimétert pedig hosszegységül fogadjuk el, úgy azokon a helyeken, hol g=981 cm, tömegegységül 981 cm3 lepárolt víz tömegét fogadtuk el.
Ha azonban meggondoljuk, hogy a nehézségtől származó g gyorsulás, bár egyazon a helyen minden testre nézve egyenlő, később kifejtendő okok miatt * a Föld felületén pontról pontra változik, szembe ötlik, hogy – bármily kényelmes is a dolog a gyakorlatban – mennyire helytelen az erőknek grammokhan, a tömegeknek pedig a belőlük származó egységekben való mérése. Mert ha ekként járunk el, ugyanazt a számot használjuk különböző erők mértékének kifejezésére, és különböző számokkal fejezzük ki egyazon anyagmennyiség mértékét, a szerint, a mint különböző vidékeken vagyunk.
Így például, ha az a 981 cm3 víz, melyet a tömeg egységeül veszünk ott, a hol g=981 cm, elvitetnék olyan helyre, hol csak 980 cm volna, ezen a helyen kevesebbet nyomna; de azért tovább is azt mondanók, hogy 981 grammot nyom, és tovább is azt írnók hogy
és ennélfogva ugyanazt a víztömeget többé nem azonosan egy számmal, hanem ezzel az 1,00102 új számmal fejeznők ki. Más-
* Adott testnek súlya 0,00512 résszel nagyobb a sarkokon, mint az egyenlítőn.
91
részt a gramm definicziójában meghatározott erő helyett meghatározott tömeget jelölünk ki, s ennélfogva tudományosabb és logikusabb tömegegységül 1 cm3 tiszta 4°-ú víz tömegét, erőegységül pedig azt az erőt fogadnunk el, mely erre a tömegre 1 másodperczig hatván, 1 cm sebességet létesít benne. Ily módon GAUSS eszméjét követve, az erőket abszolut egységekkel, azaz olyan egységekkel mérjük, melyek a hosszegységen, az időegységen és a tömegegységen kívül minden más mennyiségtől függetlenek.
Ebben a mértékrendszerhen az erőegységet din-nek (δύναμις) nevezzük, és ez az egység egyenlő 1/g köbczentiméter tiszta víz súlyával, mert az erőegységtől mozgatott tömeget a (3) képlethől kapjuk, ha ebben P = 1 tétetik; és ennélfogva olyan helyeken, hol g=981 cm, az abszolut erőegység egyértékű 1/g köbczentiméter víznek a súlyával.
Ennélfogva a gyakorlati egységekről az abszolut egységekre való átmenetben az erőt kifejező grammok száma és a tömeget kifejező szám sokszorozandó g-vel; az abszolut egységekről a gyakorlatiakra való átmenetben pedig az erőt és a tömeget kifejező számot osztandók g-vel.
Közbevetés
Mértékrendszerekről
78.
Valamely mennyiséget megmérni annyit tesz, mint egy vele egynemű másik, egységül vett mennyiséggel összehasonlítani, és meghatározni, hogy ez utóbbi hányszor foglaltatik az előbbeniben. Az ekként kapott egész- vagy tört-számot az adott mennyiség értékének mondjuk.
A mennyiségek mindegyik fajára nézve tetszés szerint, a többi fajtól függetlenül választhatnók meg az egységeket; az
92
egyedüli kivánalom csak az volna, hogy mindezek az egységek változatlanok maradjanak és szabatosan reprodukálhatók legyenek. Így alkalmazhatták a régi Rómában a lábat (29,625 cm) a hosszmérésre, a jugerumot (28800 négyzet-láb) a területek mérésére, az amphorát ürmérésre stb.
Azonban kényelmesebbnek és alkalmasabbnak találtatott, hogy a különböző egységek bizonyos közöttük fennálló geométriai kapcsolatok vagy fizikai törvények segítségével egymástól függővé tétessenek. Így a méteres rendszerben függetlenül van megválasztva a hosszegység, s ebből van leszármaztatva a területegység, és pedig ama tétel segítségével, hogy valamely négyzet a területe négyzetes viszonyban van az l oldalával, vagyis hogy
továbbá azon feltevéssel, hogy az arányosság χ együtthatója, mely kifejezi, hogy a hosszegységgel szerkesztett négyzet hányszor foglalja magában a területegységet, egyenlő az egységgel.
Ekkor valamely négyzet területét kifejező képlet ilyen:
a = l2,
s a területegység leszármaztatott képletének nevezhető ebben a rendszerben. *
Ugyancsak a méteres rendszerben a térfogategység leszármaztatott képletének az a képlet választatott, mely kifejezi a koczka térfogatát.
* Ebben a rendszerben valamely r sugarú kör e területe c=πr2, vagy megközelítőleg c=3,1416r2. De jegyezzük meg, hogy igen jól választhatnánk egy másik leszármaztatott képletet is, ha például megegyeznénk abban, hogy az egység-sugarú kör legyen egyenlő az egységgel; ebben a rendszerben egy r sugarú kör területe c=r2 volna, míg az l oldalú négyzet területét az
képlet fejezné ki.
93
Hasonlóképen tetszés szerint választván a hossz- és az idő-egységet, ezekből leszármaztatjnk a sebességegységet, ha visszamegyünk (19) a következő képletre:
és a gyorsulásegységet a következő képlet segítségével (21):
Az
F = Mγ
képlet (72), vagy a vele egyértékű
Ft = Mv
képlet (75) arra való lehet, hogy leszármaztassuk a tömegegységet, minthogy önkényesen választottuk az erőegységet, miként a gyakorlati rendszerben (77) tényleg történik is; vagy ellenkezőleg, hogy leszármaztassuk az erőegységet a tömegegységből, miként az abszolut rendszerben szokás.
Eme néhány példából már kiviláglik, hogy ily módon eljárva, az egységeknek egymástól lényegesen különböző két csoportja állapítható meg: az önkényesen választott egységeké, melyeket alapegységeknek nevezünk, és az ezekből levezetett egységeké, melyek leszármaztatott egységeknek mondatnak.
79.
Számtalan mértékrendszer volna megállapítható, melyek a következő különlegességekben térhetnének el egymástól:
1. az alapegységek számában;
2. egyazon szám mellett, fajukban;
3. egyazon faj mellett, nagyságban;
4. a képletekben, melyek a leszármaztatott egységek meghatározására szolgálnak.
Az elektrikusoknak az 1881-iki párisi kongresszuson hozott határozata szerint a fizikusok általánosan elfogadták azt az abszolut mértékrendszert, melyet a British Association 186_-ben állapított meg.
94
Ebben a rendszerben az alapegységek száma három: hosszegység, időegység, tömegegység, nevezetesen pedig a czentiméter, a másodpercz és a gramm; és ennélfogva ha azt akarjuk megjelölni, hogy valamely szám bizonyos mennyiségnek értékét ebben a rendszerben fejezi ki, a [C. G. S.] jelet írjuk utána.
Gyakran megesik, hogy eme rendszer egységei vagy nagyon kicsinyek, vagy nagyon nagyok azokhoz a mennyiségekhez képest, melyeket mérni kivánunk, úgy, hogy ezek vagy túlságos nagy, vagy kényelmetlen kicsiny számokkal volnának kifejezve. * Így például a czentiméter, mely egy rajz méreteinek vagy egy gép alkotórészeinek mérésére alkalmas, nagyon kicsiny volna úthosszak mérésére, és igen nagy volna mikroszkópos preparátumoknak, mint például vértestecskéknek, infuzóriáknak, stb. mérésére. – Ilyenkor másodrendű egységekhez folyamodunk, melyek tízszer, százszor, ezerszer, milliószor nagyobbak vagy kisebbek, és például ekként neveztetnek: dekagramm, hektogramm, kilogramm, megagramm vagy deczigramm, czentigramm, milligramm, mikrogramm.
80.
Lássuk most, hogy miként megyünk át bizonyos adott alapegységekkel kifejezett értékről más, nagyság szerint különböző alapegységekkel kifejezett értékére.
Legyen L valamely hossz, T valamely idő és M valamely tömeg. Ha valamely tetszésszerinti Q mennyiségnek értéke a következő alakra hozható:
Q = LαTβMγ,
úgy azt mondjuk, hogy ez a mennyiség α-fokú a hosszra nézve,
* A helyett, hogy az igen nagy számokat az első jelentős jegyekkel s az ezeket követő sok zérussal fejeznők ki, a tíz egész számú hatványainak szorozmányával fejezzük ki; így például 360000000 helyett inkább azt írjuk, hogy 3,6×108. Az igen kicsiny számok pedig ugyancsak a tíz negatív hatványainak szorozmányával fejeztetnek ki; például 0,0000000758 = 7,58×10–8
95
β-fokú az időre nézve és γ-fokú a tömegre nézve; és ebből az alakból levezethető az egység, melyre Q vonatkoztatva van, ha L=1, T=1 és M=1 tétetik.
Ha most új alapegységeket veszünk fel, melyek λ, τ, μ-szer nagyobbak az előbbenieknél, úgy azt a hosszt, melyet az előbb az L szám fejezett ki, most az L1= L : λ szám, és ugyanígy az időt a T1=T/τ szám, a tömeget pedig az M1=Mμ szám fejezi ki. És ennélfogva az a mennyiség, melyet az előbb a Q szám fejezett ki, most a következő új számalakot kapja:
mely is az előbbeninél λ
ατβμγ-szor kisebb szám.
Tehát az új leszármaztatott egység, melylyel ezt a mennyiséget mérjük, λ
ατβμγ-szor nagyobb a réginél, s ennélfogva úgy kapjuk, hogy a régit λ
ατβμγ-val sokszorozzuk.
81.
Vegyük például a czentiméter, másodperez és gramm alapegységek rendszerét, melyet [C. G. S.]-sel szoktunk jelölni, és fejezzük ki ebben a rendszerben azt az F erőt, melylyel a Föld 1 köbczentiméter vizet vonz.
Ha az impulzust (75)egyenlővé tesszük a mozgásmenynyiséggel, úgy:
Ft = Mv,
de a sebesség ekként van kifejezve:
minélfogva:
Ebben a példában α=1, β=2, γ=1, tehát valamely erő a hosszra és a tömegre nézve első fokú, az időre nézve pedig –2 fokú.
96
Ha L=981 cm, T=1 sec, M=1000 g, úgy:
F = 981000,
a mi a IG. G. S.] rendszerben kifejezi azt az erőt, melylyel a Föld 1 köbdecziméter vizet vonz olyan helyeken, hol a nehézségi gyorsulás g = 981 cm.
Ha most a következő új alapegységeket vesszük fel: a métert, másodperczet, kilogrammot, úgy hogy
λ = 100, τ = 1, μ = 1000,
úgy
L1 = L/λ = 9,80, T1 = T/τ = 1, M1 = M/μ = 1
és
Ez adja az új rendszerben annak az erőnek az értékét, mely 1 liter vizet esésre késztet, és az erőegység ebben a rendszerben 105-szer nagyobb, mint az előbbeniben.
Ha tehát tudjuk, hogy valamely fizikai mennyiség hányadfokú a három alapegységre nézve, vagy a mint mondani szoktuk, ha ismerjük a mennyiség méretét (dimensio), úgy levezethetjük belőle eme fizikai mennyiség mérték-egységét, és meghatározhatjuk vele azokat a változásokat, melyek az egység értékét érik, ha megváltoztatjuk az alapegységeket.
82.
Itt mindjárt összeállítjuk a [C. G. S.] rendszert, zárójelek közé téve minden egyes egység méretét.
Abszolut (C. G. S) egységek
Alapegységek.
a. – Hossz [L]. Egy czentiméter, 1 cm. – Meg van határozva, mint századik része az olvadó jég mérsékleténél annak a platinából való méterrúdnak, melyet a párisi Bureau des Longitudesben őriznek. Az az ősminta, melyet BORDA készített, és a melyet az archivumokban VII. évi messidor 4-ikén (1799 jun. 22) helyez-
97
tek el a III. évi germinal 18-iki (1795 ápr. 7) törvényhozói határozat értelmében, eredetileg a földi délkör-negyed tízmilliomod részét volt előtüntetendő DELAMBRE és MÉCHAIN mérései alapján. Jelenleg azonban tudjuk, hogy a délkörnegyed mintegy 10000800 m. De azért a hosszegységet mindenkor jól meghatározza az archivumok ősmintája.
b. – Idő [T]. Egy közép-napi másodpercz, 1 sec. – Ez
1/(24×60×60) = 1/86400 része a közép-napi napnak. A valódi napi nap azon időtartam, mely a Napnak a délkörön való egymásra következő két átmenete között eltelik; ez évszakok szerint változik (116). A csillagnap az az időköz, mely bármely állócsillagnak a délkörön való két átmenete között van; ez állandó és rövidebb a napi napoknál. Egy jó óramű teljesen egybehangzólag járhat a csillagok látszólagos mozgásával, és a csillagászati órákat valóban a csillagidő szerint szabályozzák; de lehetetlen, hogy egybehangzólag járjon a délkörrel, vagyis a Nap látszólagos mozgásával. Polgári használatra az órát a középidő szerint szabályozzák olyan módon, hogy egy polgári évben annyi huszonnégy órás egyenlő időközt mutasson, mint a hányszor a Nap egy év folyamában a délkörön átmegy, és a fizikai mérésekben időegységül elfogadott másodpercz az ekként szabályozott órától mutatott másodpercz.
A másodpercz 31558l50-ed része a csillagévnek és 31556927-ed része a napi évnek.
1 csillagév = 365,2422 közép-napi nap = 3662396 csillagnap.
1 közép-napi nap = 366,2396 : 365,2422 = 1,00273 csillagnap. 1 közép-napi másodpercz = 1,00273 csillag másodpercz.
c. – Tömeg [M]. Egy gramm, 1 g. – A gramm ezred része annak a platinából való ősmintának, melyet BORDA a kilogramm előtüntetésére készített, s melyet a méterrel együtt a párisi archivumokban őriznek.
A kilogramm 1 köbdecziméter tiszta, 4°-ú víznek Párisban légüres térben való súlyát volt hivatva előtüntetni. Azon-
98
ban a mérés módszereinek tökéletesedésével kitűnt, hogy az archivumok ősmintája valamicskével kisebb, úgy hogy 1 dm3 tiszta 4°-ú víznek tömege valamennyivel nagyobb az egységnél, nevezetesen 1,000013 egységet tesz. Ez a csekély különbség bizonyára mindig kisebb a megfigyelések hibáinál, és ennélfogva, nem tekintve néhány kivételes esetet, elhanyagoljuk, és feltesszük, hogy a 4°-ú víz sűrűsége egy, és hogy eme víz 1 köbczentimétere 1 grammot tüntet elő, vagyis egybevág a tömegegységgel.
Leszármaztatott egységek.
d. – Terület, A = [L2
]. Egy négyzetczentiméter, 1 cm2.
e. – Térfogat, V = [L3]. Egy köbczentiméter, 1 cm3.
f. – Sebesség, v = [LT–1]. 1 cm másodperczenként. – Meghatározza az a sebesség, melylyel valamely egyenletes mozgásban levő test a hosszegységet az időegységhen befutja.
g. – Gyorsulás, f = [LT–2]. – Valamely test a gyorsulás egységére tesz szert (21), ha sebessége 1 sec alatt a sebességegységgel egyenletesen növekszik.
Valamely testnek, mely légüres térben Budapesten esik, gyorsulása abszolut mértékben 980,837.
h. – Szögsebesség, ω = [T–1]. – Azon pont sebessége, mely 1 sec alatt egyenletesen befut egy 1 cm hosszú ívet, mely 1 cm sugarú körhöz tartozik (26)(26).
A Föld egy tengely körüli forgásának tartama egy csillagnap (b), vagyis 24×60×60 csillagmásodperez = 86400 : 1,00273 = 86164 közép-napi másodpercz alatt, tehát a Föld forgásának szögsebessége:
i. – Szöggyorsulás, [T–2]. – A szöggyorsulás egységére az a pont tesz szert, mely körben akként kering, hogy szögsebessége 1 sec alatt az egységgel egyenletesen változik.
k. – Sűrűség, d = [L–3M]. – A sűrűség egységével (74)
99
az a test rendelkezik, melynek 1 cm3 térfogatban 1 g tömege van. A 4°-ú víz sűrűsége megközelítőleg a sűrűség egysége; azok szerint, miket a kilogramm ősmintájáról mondottunk, szigorúan 1,000013 volna.
l. – Mozgásmennyiség, Mv = [LT–1M]. – A mozgásmennyiség egysége a másodperczenként 1 cm sebességgel mozgó 1 g tömegnek mozgásmennyisége.
m. – Erő, F = Mγ = [LT–2M]. – Az erő egysége 1 din (77); ez az az állandó erő, mely 1 g tömegre 1 sec-ig hatván, abban másodperczenkénti 1 cm sebességet létesít.
Ebben a rendszerben például valamely test súlyát úgy fejezzük ki, hogy grammokban kifejezett tömegét g-nek czentiméterekben és másodperczekben kifejezett értékével sokszorozzuk.
Ennélfogva Budapesten
1 mg
1 g
1 kg
1 t |
súlya
"
"
" |
egyértékű
"
"
" |
|
0,980837
980,837
980837
980837×103 |
din-nel
"
"
" |
Maga a din 980-ad része az 1 cm3 víz súlyának olyan helyeken, hol g=980. Látjuk tehát, hogy ez igen kicsiny egység, mert csak valamivel nagyobb a milligramm-tömeg súlyánál.
Egy megadin (79), vagyis millió din Budapesten egyértékű 106: 980,853 = 1019,37 gramm-tömeg súlyával.
n. – Fajsúly, p = P : V = [FL–3] = [L–2T–2M]. – A fajsúly egysége annak a testnek volna, melyet 1 cm3 térfogat mellett 1 din erő késztetne az esésre. Megjegyzendő azonban, hogy ugyanezen anyagnak a sarkok felé az egységnél nagyobb, az egyenlítő felé pedig az egységnél kisebb volna a fajsúlya.
o. – Forgató nyomaték, Fl = [L2T–2M]. Egy din-nek egységnyi a forgató nyomatéka az olyan pontra vonatkozólag, mely az erő hatásának irányától 1 cm távolságra esik (51).
Mihelyt valamely új fizikai mennyiséggel lesz dolgunk, nem fogjuk elmulasztani, hogy méretét közöljük és származtatott egységét megállapítsuk. Végre egy táblázatban össze
100
fogjuk állítani a C. G. S.-rendszerbeli összes abszolut egységeket.
Dinamika.
(A IV. Fejezet folytatása.)
83.
Hogy visszatérjünk főtárgyunkhoz, a dinamika második törvényének (68) értelmezéséhez, megjegyezzük, hogy eme törvény
73. ábra. Ferde hajítás. |
kifejezésében nincs szó arról a mozgásbeli állapotról, a melyben a test van, midőn az erő elkezd reá hatni, és ennélfogva a ható erő egészen ugyanazt a mozgásváltozást létesíti, akár nyugalomban van a test, akár pedig bármekkora sebességgel mozog. Vagy más szavakkal, azzal az elmozdulással, melyet a test a tehetetlensége miatt magától végezne, össze fog tevődni az az elmozdulás, melyet az erő létesítene, ha a nyugalomban levő testre hatna, úgy, hogy a testet tetszésszerinti idő elteltével a térnek ugyanabban a pontjában találjuk, melyben volna, ha a két elmozdulás nem egyidejűleg, hanem egymás után jönne létre.
Ezt az értelmezést a hajított testeknek a légüres térben való mozgásával fogjuk megvilágítani.
Legyen AB (73. ábra) a hajítás iránya, mely az AC vízszinteshez bizonyos szöggel hajlik, és legyen a hajított testnek bizonyos kezdeti sebessége, melylyel az első, második, harmadik stb. időegységben az Aa = ab = bc = ... útakat írná le, ha a nehézség hatásának nem volna alávetve. Azonban magának a nehézségnek hatása miatt (70) 1, 2, 3, ... másodpercz alatt az aa',
101
bb' = 4aa', cc' = 9aa',... magassággal szállana alá. Ennélfogva ezen idők végén, miként az imént mondottuk, az a', b', c',... pontokban kell lennie, melyek folytonos vonallal összekötve, a pályáját adják. Ez parabola (137), melynek függélyesen álló tengelye a legmagasabb ponton megy át, mit könnyű volna kimutatni. E helyett azonban lássuk ennek kisérleti bizonyítékát.
74. ábra. Morin-féle gép.
Ha a hajított test egy, a hajítás vonalán átmenő függélyes
102
síkkal érintkezésben maradhatna, e síkon pályájának nyomát hagyná; de nyilvánvaló, hogy ugyanezt a görbét kapnók akkor is, ha a testet függélyesen esni hagynók, a síkot pedig a kezdetbeli sebességgel ellenkező irányban állandó sebességgel elcsúsztatnók, vagy szintén, ha a sík helyett a leeső test mögé tengelye körül egyenletesen forgó hengert állítanánk, s ennek palástját a kisérlet után egy síkba kiterítenők. Ez az elv meg van valósítva a Morin-féle gépben (74. ábra).
Az M hengert a Q súly a c fogaskerékre és a tengelyre erősített a végtelen csavar közvetítésével hajtja.
75. ábra. A hajított testek pályája. |
Az x és x' lapátok egy bizonyos idő lefolyása alatt a mozgást egyenletessé teszik, miként később látni fogjuk (112). Ha ekkor meghúzzuk a KA kart, kimozdul a C horog, mely feltartóztatja a P hengeres súlyt, s emez a függélyesen kifeszített fémdrótok között leesvén, a papirosra rugón tartott czeruzával (i) vonalat (mn) húz.
A síkba kiterített papiros képét a 75. ábra mutatja. AX az a kör, melyet a czeruza húzott, midőn csakis a henger mozgott a nyíl irányában; ennélfogva ellenkező irányban véve, megfelel a hajítás vízszintes irányának. AY pedig az a függélyes vonal, mely leiratnék, ha a súlyt esni hagynók, a henger pedig veszteg maradna. Ha AX mentén az Aa, ab, ac,... egyenlő hosszakat vesszük, és az AY-nal párhuzamos am, bn, co vonalakat húzzuk, pontosan találjuk, hogy bn = 4am, co = 9 am, dp = 16am,... miként a 73. ábrában látható.
84.
A mozgás második törvénye még azt sem mondja, hogy a mozgó testnek csak egyetlen egy erő hatásának kell
103
alávetve lennie, úgy, hogy a következő módon általánosíthatjuk:
Ha akárhány erő hat valamely testre, mindegyikük ugyanazt a mozgásváltozást idézi elő, melyet előidézne, ha egyedül volna; és ez épen úgy áll, a midőn a test a hatás kezdetén nyugalomban volt, mint a mikor bárminő sebességgel és irányban mozgásban volt.
Nagyobb világosság kedvéért tegyük fel, hogy az A anyagi pont (76. ábra) alá van vetve két P1 és P2 állandó erőnek, melyek az AB, illetőleg AC
76. ábra. Az erők parallelogrammja. |
irányban hatnak, és tegyük fel, hogy az AB és AC szeletek azokat az útakat ábrázolják, melyeket Abefutna 1 sec alatt, ha az erők mindegyike külön-külön hatna. Ez esetben a parallelogramm AD átszögellője azt az útat tünteti elő, melyet A eme két erő egyidejű hatása miatt tényleg befut. Mivel továbbá egyenletesen gyorsuló mozgás esetében az időegységben elért sebességet, vagyis a gyorsulást az ugyanezen időben leírt út kétszerese méri (71), látjuk, hogy egy, BG-hez hasonló parallelogramm az ő oldalaival az összetevődő gyorsulásokat, átszögellőjével pedig az eredő gyorsulást tünteti elő. Végre, ha figyelembe vesszük, hogy az erők arányosak az egyazon testben létesített gyorsulásokkal (72), kiderül, hogy az erők parallelogrammja, melyet a statikában kísérletileg igazoltunk be (39), benne foglaltatik a dinamika második törvényében.
85.
A mozgás állapotában való erőszétbontás példájaként valamely testnek a lejtő mentén való mozgását fogjuk tanulmányozni. A P súlynak (77. ábra) az l hosszúságú és a magasságú lejtőre merőleges HN összetevőjét a lejtő visszahatása (91) egyensúlyozza, és csakis a lejtővel párhuzamos összetevő létesít mozgást. A P/g tömeget (73) tehát az állandó (a/l)P erő (62) készteti mozgásra, és ennélfogva a tömeg gyorsulása a (72) alapján:
104
és x útnak befutása után a 21. p. (5) képlete szerint
sebességre tesz szert, mely a lejtő egész hossza mentén való mozgás után a
értéket veszi fel.
77. ábra. Mozgás a lejtőn.
Látjuk tehát, hogy valamely test, mely valamely vízszintes síkból egy másik vízszintes síkba megy át, egyazon sebességre tesz szert, akár szabadon esik (70, (3) képl.), akár pedig a tetszés szerinti hajlású lejtőn mozog; a különbség csak az, hogy eme sebességek iránya különböző, és hogy az elérésökre megkivántató idő anuál hosszabb, mentül inkább eltér a lejtő a függélyestől.
78. ábra. Galilei kisérlete a lejtőn.
A lejtőn surlódás nélkül eső test mozgása egyenletesen gyorsuló (69) épen úgy, mint a szabadon esőé; és épen eme mozgás megfigyelése révén állapította meg GALILEI (1) a testek esésé-
105
nek törvényeit. Kisérleteinek ismétlésére jól kifeszített, hosszú AB fémdrótot (78. ábra) használhatnnk, a melyen kicsiny C kocsi igen könnyen forgó kerekeken fut végig.
86.
Az ingamozgás egy másik példáját nyujtja a mozgató erő szétbontásának. Inga a neve bármely testnek, mely csakis a saját súlya hatásának van alávetve, s egy vízszintes, a test súlypontján kívül átmenő tengely körül foroghat.
79. ábra.
Egyszerű inga. |
Előbb azonban az úgynevezett egyszerű inga tanulmányozására fogunk szorítkozni; ez valamely súlyos M pont (79. ábra) volna, mely nyujthatatlan és súlytalan CM szálra van függesztve. Ha O nyugalmi helyzetéből kimozditjuk s azután eleresztjük, egy körív mentén alászáll, mintha minden pontban súlyának csakis a szálra merőleges MF összetevője hatna reá, mert a másik, az előbbenire merőleges MT összetevőt a szál visszahatása egyensúlyozza. A mozgató erő tehát folytonosan és pedig abban a mértékben csökken, a melyben a mozgó pont a legmélyebb ponthoz közeledik; ezután folytonosan növekszik, de most már a mozgással ellenkező irányú. Ennélfogva a mozgás eleintén gyorsuló, azután pedig lassuló. Az M pont, ha nem találna semmi ellenállásra, O-nak másik oldalán ép olyan magasságra emelkednék, mint a mekkorából elindult, s ezután visszafordulna s így folytatná határtalanul.
87.
Ez a mozgás, míg csekély (legfeljebb 3 vagy 4°-ú) tágasságok forognak szóban, nagy megközelítéssel ugyanannak a mozgásnak törvényeit követi, melyet a 24. pontban tanulmányoztunk, s a melyet épen ezen oknál fogva lengő mozgásnak is neveztünk. Valóban, az egyszerű inga esetében, ha olyan csekély lengésekről van szó, hogy az ív helyett észrevehető hiba nélkül
106
a megfelelő húrt vehetjük, az MCO és MPF (79. ábra) hasonló háromszögekből a mozgató erőt a következőképen fejezhetjük ki:
hol P az inga súlyát, l a hosszát és x a kimozdulását jelenti; és ha mind a hét oldalt elosztjuk az M = P/g tömeggel, úgy a gyorsulás:
és innét kitűnik, hogy a kimozdulásnak a gyorsuláshoz való viszonya:
a mi azt jelenti, hogy ez a viszony állandó mindaddig, míg sem az inga hossza, sem a nehézség értéke nem változik.
Ennélfogva legott alkalmazhatjuk a 24. pont (9) képletét, mely kifejezi a teljes lengés T idejét:
Megjegyezzük azonban, hogy a midőn ingával van dolgunk, rendszerint az egyszerű lengést tekintjük, melynek tartama tehát, miként HUYGENS kifejezte volt:
Ez a képlet csakis csekély tágasságokra érvényes és magában foglalja a lengő mozgás minden törvényét.
Jóllehet az egyszerű inga nem valósítható meg, mégis szerkeszthető olyan inga, mely vele közelítőleg egyértékű: selyem-szálra fémgolyócskát függesztünk fel és az inga hosszáúl a felfüggesztés pontjának a súlyponttól való távolságát vesszük.
Ezt előrebocsátva kisérletileg kimutatható, hogy az ingamozgás azonos az egyszerű rezgő mozgással, melyet akként határoztunk meg, mint az egyenletes körmozgásnak valamely átmérőre való vetületét. Függesszük fel az ingát egy vízszintes korong
107
forgástengelyének meghosszabbítása mentén; a korong kerületére legyen egy golyócska erősítve, és forogjon a korong egyenletesen olyan sebességgel, hogy egy forgást végezzen,
80. ábra.
Ingaállvány. |
mig az inga két egyszerű lengést tesz. A két golyócska árnyékát vetítsük az ingalengés síkjára merőleges fénynyel: látni fogjuk, hogy a két árnyék együttesen jár ide-oda, mintha csak mereven összekötött két testhez tartoznék.
Kisérletileg kimutathatók a következő törvények is, melyek mind bentfoglaltatnak az (1) alatti képletben:
1. A csekély tágasságú ingalengések, miként GALILEI fölfedezte, izochrónok (egyidejűek), vagyis egyazon tartamuk van, bármekkora legyen is a tágasságuk, ha csak mintegy 4°-nál nem nagyobb. Valóban, ha az egy adott időben végzett lengéseket megszámláljuk, és később ugyanakkora idő tartamában számláljuk meg, egyazon számot fogjuk találni, jóllehet, hogy a tágasság a két megfigyelés között lefolyt időben a surlódás és a levegő ellenállása miatt csökkent.
2. A lengés ideje független az inga anyagi minőségétől és súlyától, és épen eme törvénynek beigazolásából következtetünk a legnagyobb szigorral arra, hogy g valamely testre nézve állandó (73).
3. A lengés ideje arányos a hosszúság négyzetgyökével, mely törvényt szintén GALILEI ismert volt fel.
Azon ingáknak, melyek hosszúsága az 1, 4, 9, 16, ... számok viszonyában van, lengésidejét az 1, 2, 3, 4, számok viszonya fejezi ki.
A 80. ábrabeli három inga egyazon oldalra kimozdítva s egyszerre eleresztve, akkor fog együttesen visszatérni a kiinduló ponthoz, mikor az első 6, a második 4 és a harmadik 2 lengést végzett.
4. A lengés ideje fordított viszonyban van a nehézség léte-
108
sítette gyorsulással. Az ingának éppen ez a tulajdonsága nyujt módot g a Föld különböző pontjain való értékeinek meghatározására. (1)-ből ugyanis
vagy, ha a másodperczenként végzett lengések száma n:
g = π2ln2.
hogy tehát g értékét kapjuk, csak az inga hosszát kell pontosan megmérni, és megszámlálni a lengéseket, melyeket meghatározott időben végez.
Ha (1)-ben t=1, megkapjuk a másodpercz inga hosszát,
l1 = g : π2
amely Budapesten l1 = 980,837 : (3,1416)2 = 99,37961 cm.
88.
Az összetett inga bármely test, mely vízszintes tengely körül foroghat; rendszerint azonban rúd, mely alul lencsealakú tömeget hord, miként az ATWOOD-féle gép (72. ábra) ingáján látjuk. Az összetett inga annyi egyszerű inga halmazatának tekinthető, mint a mennyi anyagi részecskéből áll. De ezeknek az egyszerű ingáknak, ha önállóak volnának, nagyon különböző lengésidejök volna. Mivel azonban rideg összeköttetésben vannak, a magasabban fekvő részecskék hatása meggyorsítja a mélyebben fekvőknek mozgását, míg amazoknak mozgása viszont meglassíttatik; világos tehát, hogy olyan részecskéknek is kell lenniök, melyek épen úgy lengenek, mintha szabadok volnának. Ezek közül azt, a melyik a súlyponton átmenő függélyesben fekszik, az inga lengés-középpontjának nevezzük; a felfüggesztés középpontjának pedig a tengelynek azt a pontját mondjuk, amely ugyanabba a függélyesbe esik. E két középpont közötti távolság az összetett inga hossza, mert ez megegyezik annak az egyszerű ingának hosszával, melynek ugyanaz a lengésideje van. (V. ö. 125. p.)
89.
Nem hallgathatjnk el az inga alkalmazását az óraművek járásának szabályozására. Az óra hajtója súly vagy rugó, s a mozgás a fogaskerekek rendszere közvetítésével a mutatókkal
109
közlődik. Világos, hogy a mozgás nem lehet egyenletes, de a csekély tágasságú ingalengések izochronizmusának (87, (1)) felhasználásával szabályozható,
81. ábra. Horgonyos szöktető. |
a mennyiben az inga az úgynevezett szöktetőt mozgatja, mely egy kerék fogaiba kapaszkodván, minden egyes lengésre csak egy fogat ereszt tovább.
A 81. ábra a horgonyos szöktetőt tünteti elő. Az ABC horgony, az ingától mozgatva, a D tengely körül leng. Az E kereket, mely a gépezet utolsó tengelyére van erősítve, a hajtó súly vagy rugó A-tól C felé B-n át folytonosan mozgásra készteti, de fogaival váltakozva neki fekszik A alsó lapjának és C felső lapjának, mely lapok D középpontú ívek mentén vannak kimetszve, és míg neki fekszik, nem mozdnlhat. Midőn azután a horgony kimozdul, egy-egy fog tovább megy és a horgony mn és pq hajlott végein csuszamodik el, s ily módon a horgonynak s ennek révén az ingának is impulzust ad, mely
surlódások és a közeg ellenállásának legyőzésére szolgál, és megakadályozza, hogy az inga megálljon.
90.
A dinamika első törvényénél fogva az ingalengés síkja változatlan, ha a mozgató erő mindig abban a függélyes síkban hat, mely a kiinduló ponton és a felfüggesztés pontján megy át. A sarkon levő valamely inga valóban ilyen körülmények között volna, mert itt a függélyesnek iránya nem változik a Föld forgásának hatására. * De az inga közelében levő megfigyelő részt venne
* Egészen szigorúan véve az inga nem lerghet síkban. Ha ugyanis nyugalmi helyzete a Föld tengelyének meghosszabbításába esnék, úgy, a midőn kimozdíttatnék és a tágasság végén, mielőtt eleresztetnék, fogva tartatnék, részt venne a Föld forgásában; tehát bizonyos, a lengés síkjára merőleges sebessége volna, a minővel azok a pontok, a melyek felé azután közeledik, nem rendelkeznek. Tegyük fel, hogy a tágasság 2 m és a lengésidő 6 sec. A szélső helyzetben, vagyis a tengelytől 1 méternyire, sebessége 2π : 86164 = 0,00007 m volna másodperczenként (27), következésképen 3 sec után egyensúlyi helyzetétől 0,21 milliméternyi távolságban menne át, a mi bizonyára elenyésző egy 2 méteres tágasságon, s ennélfogva az inga pályája síknak látszik. De hosszabb idő mulva már észrevehetőleg elliptikussá válik, miként SERPIERI-nek és SECCHI-nek sikerült megfigyelniök.
110
ebben a forgásban a nélkül, hogy észrevenné, és ennélfogva magához képest a lengés síkját elfordulni látná és pedig keletről nyugat felé a csillagok látszólagos mozgása irányában, és 24 óra alatt egy körülforgást figyelne meg. Ellenben az egyenlítőn mindebből semmi sem figyelhető meg; a horizon nem forog a függélyes körül és ennélfogva az inga síkja nem fordul el a földfelület pontjaihoz képest.
82. ábra. Az inga
síkjának elmozdulása |
Közbülső szélességeken a látszólagos forgást már az Accademia del Cimento tagjai figyelték meg, de az feledésbe merült; végre sokkal később FOUCAULT újra fölfedezte a forgást és megmutatta, hogy miként kell a szélességgel változnia.
Legyen valamely inga a szélességuek megfelelő VC függélyesben (82. ábra) felfüggesztve, és tüntesse elő CM a Földnek az ő SN tengelye körül való szögsebességét. Ezt a sebességet bontsuk szét (27) kettőre: egyre a CV függélyes körül, melyet CU tüntet elő, s egy másikra CO körül, mely a Föld középpontjából abban a délkörben húzva, melyben az inga van, me- |
111
rőleges CV-re. Ez utóbbi forgás az inga síkjának látszólagos mozgására nincs hatással, mert épen úgy viseli magát, mint a Föld egész forgása az egyenlítő pontjaira vonatkozólag. Ellenben a CU összetevőre vonatkozólag az inga ugyanoly körülmények között van, mintha a sarkon volna, és ennélfogva lengésének síkja a Föld forgásával ellenkező irányban a CU-val előtüntetett szögsebességgel forog. De
CU = CM cos VCN = CM sin φ,
következőleg a látszólagos forgás 360°sinφ egy nap alatt, és 15°sinφ egy óra alatt.
Például Budapesten, mely 47° 80' 10,7'' szélesség alatt fekszik, az inga lengésének síkja óránként 11° 3' 34''-czel fordul el. A kisérletet később ismételve végrehajtották, s mindig az elmélettel megegyező eredményeket adott, mi újabb bizonyítéka a Föld forgásának. Lehetőleg magas felfüggesztés-pontot keresünk s hosszú és vékony drótra
83. ábra. A lengés-
sík megtartása. |
nagy tömegű golyót erősítünk, melynek legmélyebb pontja a nyugalmi helyzetben egy beosztott vízszintes kör középpontja fölé esik; ekkor látni fogjuk, hogy az inga a Nap látszólagos mozgását követve, folyvást más meg más átmérő mentén leng.
Az inga síkjának változatlanságát még akként is megmutathatjuk, hogy a 83. ábrabeli készüléket az AB függélyes tengely körül forgatjuk. A közben, hogy a keret forog, az inga megmarad lengésének kezdetbeli síkjában, vagyis az alul elhelyezett kör beosztásához képest elfordul.
A Föld forgásának másik bizonyítékát szerezzük, ha egy testet nagy magasságból ejtünk le. Itt ugyanaz a szögsebessége van (26), mint a mélyebben fekvő pontoknak, de nagyobb lévén pályájának sugara, nagyobb az érintőmenti sebessége, melyet esése közben megtart, ennélfogva oly pontban éri a talajt, mely kissé keletre esik a kiinduló pontból húzott függé-
112
lyes talppontjától. Hasonlóképen a mi félgömbünkön egy vízszintes irányban elhajított test a hajítónak jobbja felé tér el.
91.
Lássuk most a dinamika harmadik törvényét, mely szerint minden hatásnak vele egyenlő visszahatás felel meg (68). Midőn valamely test az asztalon nyugszik, ez nem azt jelenti, hogy belsejében minden nyugalomban van, sőt feltettük, hogy a molekulák szüntelen mozgásban vannak, s hogy kölcsönös hatásaik folytonosan érvényesülnek (29). De ezek a belső erők soha sem mozdíthatják meg a testet mint egészet, épen úgy, a mint egy csónakban levő ember, bármint erőlködjék is, ezt még egy milliméterrel sem mozdíthatja ki, mindaddig, a míg erejéve a partnak, vagy a víznek, vagy a levegőnek, szóval valamely külső pontnak nem fekszik neki. Mindazonáltal tetemes belső erők hatása révén megeshetik, hogy a test széthasad, miként például a bomba szétpattan; de ekkor annak a mozgásmennyiségnek (15), melyet a test egyik része kap, szükségképen megfelel egy épen akkora és ellenkező irányú mozgásmennyiség; így ha két darabra, egy 10 és egy 40 kilogrammosra szakadna, az első darab útjának minden egyes méterére a második darab útjának csak 25 czentimétere esnék, de ellenkező irányban. Így kell a dinamika harmadik törvényét felfogni.
A puska elsütésekor a golyó a lövés irányában bizonyos sebességet kap; de ha a puska szabad volna, akkora sebességgel futna vissza, mely a puska tömegével megsokszorozva, a golyóéval pontosan egyenlő mozgásmennyiséget adna. És ha a puska szilárdan össze volna kötve a talajjal, az egész Föld rúgna vissza; de mivel a Föld tömege úgyszólván végtelen nagy a lövedék tömegéhez képest, azért sebessége és elmozdulása észrevehetetlen. Hasonlóképen, midőn valamely test esik, a Föld is észrevehetetlenűl a testnek eléje megy.
A visszahatás a nyugalom állapotában is mutatkozik. A kéz, mely az asztalt nyomja, épen akkora és ellenkező nyomásban részesül. A padolaton nyugvó minden tárgy a súlyával egyenlő
113
nyomást kap felfelé: ha a nehézség hirtelen megszünnék hatni, a tárgyak a tetőzethez lódíttatnának.
92.
E törvény a testek ütközésére is alkalmazható. Legyen adva két homogén golyó, A és B (84. ábra), melyek tömege a és b, középpontjuk pedig az ütközés előtt egyazon egyenesen α>β sebességgel mozog. Először is egy pontban érintkeznek és bizonyos erővel nyomják egymást, mely zéruson kezdődve, folytonosan növekszik abban a mértékben, amelyben a két test egymást összenyomja. Hogy valóban összenyomják egymást, úgy mutatható ki, hogy kormozott márványlapra elefántcsontgolyót ejtünk; látni fogjuk, hogy a golyó nem csupán csak egy pontban, hanem némi kiterjedésű gömbszeleten feketedik meg.
84. ábra. Golyók ütközése.
A legnagyobb összeszorulás pillanatában a két testnek egyazon sebessége van, és ha adhézió révén nem forradnak össze vagy valamely mesterséges úton nem maradnak összefüggve, a kölcsönös összenyomás gyengülni kezd és végre megszünik. Az egész folyamat körülbelül egy óráig tartana, ha a két test a Föld méreteivel és az aczél vagy az üveg keménységével rendelkeznék, és már valamivel egy ezredmásodpercz előtt megszünnék, ha ugyanazon anyagból való 1 m átmérőjű golyók volnának.
Minden esetre nézve áll, hogy a közöttük működő éspedig a szimmetria miatt a középpontjaikat összekötő egyenes mentén működő erő mind a kettőre egyenlő impulzusokkal hat, s ennélfogva (75) a megfelelő mozgásmennyiségeket ellenkező
irányban egyenlő változások érik. Vagyis, ha az ütközés utáni
114
sebességek α' és β', A-nak mozgásmennyiségbeli vesztesége egyenlő B-nek nyereségével, vagyis
a(α–α') = b(β–β').
93.
Az egyedüli eset, melyben a harmadik törvény érvényessége iránt némi kétség maradhatna fenn, az volna, midőn egy erő teljesen szabad testre hat; ilyen volna pl. egy lónak izomereje, mely teljesen surlódásmentes vízszintes síkon csuszamló szánra hat. Ily esetben azt kell felvenni [feltételezni], hogy a szabad tömeg az ő mozgásának gyorsításával szemben fejt ki ellenállást, mert midőn mozgása egyenletes marad, a lónak semmi húzást sem kell kifejtenie (68. első törvény).
Az egyenlőséget a mozdító erő és azon visszahatás között, melyet a tömeg a meglevő mozgás változtatásával szemben tanúsít, akként fejezhetjük ki, hogy a mozdító erő impulzusát (15) egyenlővé tesszük azzal a mozgásmennyiséggel, mely a visszahatást méri.
Alkalmazzuk a tehetetlenségből származó ellenállásnak ezt a fogalmát az egyenletes körmozgásra. A leírt kör mentén való v sebességet megmérve, állandóan (19)
értékűnek találjuk, hol r a kör sugara, T pedig egy keringés ideje; következőleg, mint minden egyenletes mozgásban, a pálya mentén való gyorsulás zérus.
Ellenben a sebességnek a sugár irányába eső része változik, és a 25. pontban láttuk, hogy változása, vagyis az ezen irányban vett gyorsulás:
Mint minden gyorsulást, úgy ezt is valamely erő hozza létre, és ha ezt a gyorsulást megsokszorozzuk a tömeggel, melyben létesül, megkapjuk magának az erőnek mértékét. Hogy tehát valamely M tömeg r sugarú kört v állandó sebes-
115
séggel befusson, ehhez állandóan a középpont felé irányuló és
intenzitású erő kivántatik.
Ezt czentripetális erőnek nevezzük és az (1) képlet dinekben (17) adja meg, ha M grammokban, r czentiméterekben és T másodperczekben van kifejezve. Eredete nagyon különböző lehet. Valamely bolygónak a Nap körüli mozgásában, melyet megközelítőleg körmozgásnak vehetünk (134), az eltérítést az egyetemes vonzás létesíti. Valamely testnek szilárd tengely körüli forgásában a kohézió és a támasztó pontok ellenállása hozza létre. Midőn a mozgó test fonállal van egy szilárd ponthoz kötve, a czentripetális erő nem egyéb a fonál rugalmas erejénél. De hogy ez kifejlődjék, kell, hogy a fonál feszítve legyen; a feszítést pedig épen az az ellenállás létesíti, melyet a tömeg az irányváltozással, vagyis a középpont felé irányuló gyorsulás megszerzésével szemben kifejt. Ez esetben az ellenállást, talán nem elég szabatosan, czentrifugális erőnek nevezzük, s ennélfogva a harmadik törvény szerint azt mondjuk, hogy a czentrifugális erő egyenlő és ellenkező irányú a czentripetális erővel. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy nem mind a kettő hat a mozgó testre, mert ekkor egyensúly létesülne és a mozgás egyenes vonalú volna. A mozgó testre csakis a czentripetális erő hat, ellenben a czentrifugális erő csupán az a visszahatás, melyet a mozgó test a szálra gyakorol. Ha megszűnik az első, megszünik a második is, és a test az érintő mentén lódul tova, miként a parittyázásnál történik.
Ha függélyes síkban vízzel telt poharat forgathatunk a nélkül, hogy a víz kifolynék, úgy ez szintén attól a visszahatástól van, melyet a mozgásuk megváltoztatására késztetett testek kifejtenek. Midőn a pohár fel van fordítva, a víz súlyának nincs egyéb hatása, mint hogy a szál feszültségét csökkenti, úgy hogy a szálnak ekként csökkentett rugalmas erejéhez adva, eredőül a
116
kör sugarának és a forgás sebességének megfelelő czentripetális erőt adja.
85. ábra. Érintői erő. |
94.
Tegyük most fel, hogy az A testre (85. ábra) a czentripetális erőn kívül még valamely AF erő hat, melynek intenzitása állandó, de iránya folytonosan és pedig akként változik, hogy mindig a pályához vont érintővel esik össze. Ez az érintői erő gyorsítani fogja a mozgást, vagyis öregbíteni fogja a v sebesség értékét, és következésképen, ha a czentripetális erő állandó maradna, az (1) képlet szerint a pálya r sugarát is nagyobbítania kell; a test tehát távoznék a forgás középpontjától.
95.
A czentripetális erő törvényei beigazolhatók az úgy nevezett czentrifugális géppel (86. ábra) és különböző készülékekkel, melyek a tengelyére erősíttetnek.
86.ábra. Czentrifugális gép.
A gépet az ábráhan látható készülékkel addig forgatjuk, míg az M gönib, mely az AB pálczikán szabadon futhat, a forgás tengelyén kívül nem esik. A gömb, az imént mondottak szerint, távozni fog a tengelytől, mert ez esetben csak a surlódásból eredő igen csekély czentripetális erő szegül ellene; ennélfogva érintkezésbe fog jutni a rugóval és ezt össze fogja nyomni, ily módon fejtvén ki a forgási sebességének megfelelő
117
eltérítő erőt. A rugó összeszorulása a gömb egyenletes mozgásakor állandó marad és a czentripetális erő intenzitásának mérésére és a 93. p. (1)képletével kifejezett törvények beigazolására szolgálhat, nevezetesen pedig, hogy ez az erő
a) adott sugár és sebesség, vagy adott sugár és keringésidő mellett arányos a tömeggel;
b) adott tömeg és sugár mellett arányos a sebesség négyzetével, vagy fordított viszonyban van a keringésidő négyzetével;
c) adott tömeg és sebesség mellett fordított viszonyban van a sugárral;
d) adott tömeg és keringésidő mellett egyenes viszonyban van a sugárral.
87. ábra. Összekötött golyók. |
Ha ellenben a 87. ábrabeli készüléket forgatjuk, melyben nyujthatatlan szállal összekötött két golyó van alkalmazva, látni fogjuk, hogy ezek nem távolodnak a tengelytől, hogy az ettől való távolságuk fordított viszonyban van tömegükkel; és valóban, az a feltétele annak, hogy a megfelelő czentrifugális erők egyenlők legyenek. Hasonló körülmények között van a Föld és a Nap, melyeket kölcsönös vonzásuk egymáshoz való közeledésre késztet, s a melyek közös súlypontjuk körüli keringésök hatása miatt maradnak egymástól távol.
96.
Mielőtt ezt a tárgyat elhagyuók, vizsgáljuk meg, hogy milyen hatása van a Föld forgásának a nehézség g értékére (70). A földfelületen levő minden testnek megvan az a törekvése, hogy tovahaladjon annak a körnek érintőjében, melyet a Föld tengelye körül leír; ennélfogva a reája ható nehézségnek egy része arra emésztődik fel, hogy őt egyenes vonalú útjától eltérítse, s így a testet könnyebbé teszi.
Az egyenlítőn az eltérítő erő épen a nehézségi erő irányába esik, következőleg g értéke pontosan egyenlő e két erőtől
118
létesített gyorsulások különbségével. Ha γ0 a czentripetális erő gyorsulása az egyenlítőn és D a Föld sugara, úgy
(93); Mivel az egyenlítőn az inga segítségével (87 (4)) g0 = 978,10 találtatott, a csakis a Föld vonzásától származó a gyorsulás,
a = g0 + α0 = 981,49
A P sarkon (88. ábra), azaz 90° szélesség alatt, az egész vonzás érvényesül, mert a forgásbeli sebesség zérus; ennélfogva ha a Föld gömb volna, a sarkon g90=α kellene lennie.
88. ábra. A föld forgása. |
Annak a körnek, melyet a forgó mozgásban valamely B pont φ szélesség alatt leír, sugara a megfelelő párhuzamos körnek BC sugara; és mivel BC = Rcosφ, a czentripetális erő γ gyorsulása (2) szerint:
γ = γ0 cosφ.
Ezt BD-vel fogjuk előtüntetni, az a gyorsulást pedig tüntesse elő BE, melyet a BD és BF összetevőkre szétbontva fogunk felvenni. Az első összetevőnek az a feladata, hogy B pontot a tőle leírt körön megtartsa, a második az a g gyorsulás, melyet D kapna, ha szabadon esnék.
Látjuk tehát, hogy a Föld forgása a nehézségi erőt nemcsak hogy gyengíti, hanem még irányát meg is változtatja, úgy, hogy csak az egyenlítőn és a sarkokon irányul a Föld középpontja felé. A függélyestől való eltérést 45° szélesség alatt, hol a legnagyobb, vagyis az MBH szöget számítás útján 6'-nak találjuk.
119
Megjegyezzük még, hogy a BFE háromszögből, ha FE=BD=γ, BE=α és BF=g tétetik,
g2 = a2 + γ2 – 2aγcosφ = a2 + (γ02–2aγ0)cos2φ,
vagy
g2 = (a–γ0)2 + γ0(2a–γ0)sin2φ,
g2 = g02 + 2γ0g0sin2φ + γ02sin2φ,
| g2 = g02(1 + |
g0
|
sin2φ + |
|
sin2φ), |
és ha a zárjelben levő harmadik tagot, mint igen kicsinyt, elhanyagoljuk, úgy a következő eléggé megközelítő képletet kapjuk:
| g = g0(1 + |
|
sin2φ) = 978,10(1+0,0035sin2φ). |
Azok az értékek, melyeket az inga segítségével a különböző szélességek alatt g számára meghatároztak, a következő képlettel fejezhetők ki:
| g = g0(1+0,00512sin2φ).
| (3) |
Így hát g-nek az egyenlítőtől a sarkok felé való növekedése a valóságban nagyobb annál a növekedésnél, melyet a Föld gömbalakjának hipotéziséből vezetünk le, és kell is hogy nagyobb legyen, mert a Földnek lapultsága van, * és a mint látni fogjuk (139), a földi vonzás fordított viszonyban van a középponttól való távolság négyzetével.
* A Föld egyenlítői sugara 6,378×108 cm, sarki sugara pedig 6,356×108. A Föld középsugarául 6,371×108 cm, térfogatául pedig 1,083×1021 cm3 vétetik. |
89. ábra. A lapultság kisérleti bemutatása. |
120
De ez a lapultság, mely a délkör fokainak trigonométriai mérése révén állapíttatott meg, a forgásból származik, mit a 89. ábrabeli kisérlettel szokás szembeötlővé tenni; ennélfogva azt kell következtetnünk, hogy végső elemzésben a forgó mozgás az egyedüli oka g változásának, ha ugyan nem tekintünk arra az igen csekély hatásra, melyet erre a mennyiségre a tenger színe feletti magasság (139) és nagy hegyek szomszédsága okoz.
Közbevetés.
Súrlódás és a közeg ellenállása.
97.
Többször említettük már, hogy két testnek egymáson való csuszamodásakor ellenállásra bukkanunk, melyet surlódásnak mondunk. Ennek két faját különböztetjük meg: a csúszó surlódást és a gördülő surlódást. A surlódás mértéke az a minimális erő, mely az érintkező felületekkel párhuzamosan hatván, a két test viszonylagos mozgását létre birja hozni; vagy, ha a testek már mozgásban vannak, mértéke az az erő, mely megkivántatik, hogy sebességök állandónak fentartassék.
A kísérletek tanusága szerint a csúszó surlódás
1. arányos a nyomó erővel;
2. nem függ az érintkező felület terjedelmétől, ha ugyan csúcsossá vagy élessé nem válik ez a felület. Így valamely parallelepipéd, mely csakis a nehézségi erőnek van alávetve, valamely vízszintes síkon való csúszásakor egyforma ellenállásra talál, bármelyik lapjára támaszkodjék is;
3. független a sebességtől; mindazonáltal valamivel nagyobb a nyugalomból való kiinduláskor, mint mozgás közben.
Ezek a törvények, ámbár gyakorlati esetekben rendszerint hozzájuk folyamodnnk, csakis megközelítőknek tekintendők.
Ha P a nyomó erő, F pedig a surlódás legyőzésére meg-
121
kivántató erő, a mondottakból következik, hogy F/p=a hol a, a meddig az érintkező felületek fizikai körülményei nem változnak, állandó szám, melyet a surlódás együtthatójának mondunk.
Ez kisebb a különnemű, mint az egynemű testek között; például kisebb sárgaréz és aczél között, mint sárgaréz és sárgaréz, vagy aczél és aczél között. Fára nézve nagyobb, mikor a rostok a mozgás irányával párhuzamosak, mint a midőn merőlegesek. Kisebbedik, ha a két felületet zsíros anyagokkal kenjük.
A csapágy-surlódás a csúszó surlódásnak külön esete, de valamivel kisebb.
A gördülő surlódás nagy megközelítéssel egyenes viszonyban van a nyomó erővel, és fordított viszonyban a gördülő test átmérőjével. Ez a surlódás jóval kisebb a csúszónál (71), és ennélfogva a fékezők, melyek a kerekek forgását megakadályozzák, a mozgás ellenállását növelik.
98.
A közeg ellenállása, vagyis a levegőnek vagy víznek
ellenállása, melyben a mozgás végbemegy, nagyrészt abból a körülményhől származik, hogy a mozgó testnek eme folyadékokat maga előtt félre kell tolnia. Ez az ellenállás arányos:
1. a közeg sűrűségével;
2. a felülettel, melylyel a mozgó test a közeget eltolja; de szerepe van a felület alakjának is, s ez az oka, hogy a hajók éles orral haladnak a vízben. Ha nyitott ernyőt tartunk a vállunk mögött és úgy futunk, nagyobb ellenállásra találunk, mint a mikor nyitva magunk elé tartjuk;
3. a sebesség négyzetével, a meddig mérsékelt sebességekről van szó; ellenkező esetben az ellenállás rohamosabban növekszik.