II. FEJEZET.
A SZILÁRD TESTEK STATIKÁJA.

38. Az első felmerülő kérdés az erők összetételének kérdése, vagyis miként kell meghatározni egy egyedüli erőt (eredőt), mely több erő (összetevők) helyébe téve, ugyanazt a hatást létesíti, mint ez a több erő együttvéve.

Meg fogjuk különböztetni azt az esetet, melyben az erők hatásának alávetett test teljesen szabad, vagyis a figyelembe vett erőkön kívül más erőknek alá nincs vetve, attól az esettőt melyben a test feltételeknek alá van vetve, például, a melyben a test pontjainak egyike állandóan szilárd, vagy a melyben a test kényszerítve van, hogy valamelyes tengely körül forogjon, vagy állandóan valamely síkon maradjon, stb.

39. Az alaptétel, melyből az erők összetételére vonatkozó minden más tétel levezethető, az erők parallelogrammjának tétele, mely ekként hangzik (33):

Az egy ponton támadó két erőnek eredőjét előtünteti az összetevőket ábrázoló egyenesekből szerkeszthető parallelogramm átszögellője.

44

E tételt néhány nyilvánvalónak felvett kisérleti adatból elmélkedés útján szokták levezetni. (*) Itt azonban csak a következő kísérleti beigazolására fogunk szorítkozni.

Három fonál egy O pontban (21. ábra) van összekötve; kettő a G és K csigára van vetve és a P és Q súlyokat tartja, míg a harmadikat az R súly függélyesen feszíti. O pontban tehát három erő működik, melyek megfelelő rendben egyenlők a fonál-feszültségekkel, vagy a fonalakat támadó három erővel (37). Ha ezt a pontot kimozdítjuk s azután magára hagyjuk, mindig ugyanazt a helyzetet veszi fel, t. i. azt a helyzetet, melyben a három erő egyensúlyban van.

21. ábra. Az erők parallelogrammja.

(*) A dinamika második törvénye folyományának is tekinthető; ezt a 84. pontban fogjuk látni.

45

Ha a három fonál síkja mögé egy lapot helyezünk, ezen a fonalak irányát megjelöljük, s ezekre az irányokra a P, Q, R három súlylyal arányos AE, AB, AF hosszakat felrakjuk, végre az EB parallelogrammot megszerkesztjük: azt fogjuk találni, hogy az AD átszögellő az AF hoszszal egyenlő és a meghosszabbításában fekszik. Már most azon erő, melyet az átszögellő tüntet elő, egyensúlyban volna az AF hossz ábrázolta egyenlő és ellenkező irányú erővel, de evvel tényleg egyensúlyban van az AE ős AB-vel előtüntetett két erő: ennélfogva e két erő ugyanazt a hatást létesíti, mint az átszögellővel ábrázolt egyedüli erő, miként állítottuk volt.

40. Gyakran előfordul még az ellenkező feladat, vagyis egy adott erő szétbontása két más erőre; világos, hogy ez a feladat határozatlan marad mindaddig, míg ki nincs tűzve két feltétel, melyeknek a keresett összetevőknek eleget kell tenniök. Ha ezek a feltételek adva vannak, a feladat vissza van vezetve az egyenes vonalú háromszög megszerkesztésére.

A leggyakrabban előforduló eset az, a mikor adva van a két irány, a melyek mentén az adott erőt szét akarjuk bontani, nevezetesen pedig az az eset, melyben a két irány egymásra merőleges. Ez esetben az összetevők mindegyike az adott erőnek az illető irány szerint vett alkotója nevét viseli, és világos, hogy az alkotót az adott erőt ábrázoló egyeneseknek az illető irányra való vetülete tünteti elő.

A mondottakból megérthető, hogy az erőkre nézve ugyanazok a képletek érvényesek, melyeket a 23. pontban a sebességek összetételére és szétbontására nézve levezettünk.

41. Hogy az egy ponton támadó akárhány erőnek eredőjét megkapjuk, először is két tetszésszerinti erőt teszünk össze, ezeknek eredőjét összetesszük egy harmadik erővel, az új eredőt egy negyedikkel, és így tovább, míg valamennyi ki nincs merítve.

E feladatnak csinos megoldása van, mely az erőpoligon néven ismeretes.

46

22. ábra. Az erőpoligon szerkesztése.

Tegyük fel, hogy A ponton (22. ábra) AB, AC, AD, AE négy erő támad, mely általában nem fekszik egyazon síkban. E pontból húzzuk az AG-vel párhuzamos és egyenlő BC' egyenest, és jegyezzük meg, hogy AC' az első két erőnek eredőjét tüntetné elő (39). Ezután az AD-vel párhuzamos és egyenlő C'D' egyenest húzzuk, és AD' volna AC'-nek és AD-nek, vagyis az első három erőnek az eredője.

Ha továbbá az AE-vel párhuzamos és egyenlő D'E'-t húzzuk, könnyen belátható, hogy AE' a keresett eredő. Meghúzván ezt az utolsó egyenest, az ABC'D'E'A poligon bezárul; ha pedig E' összeesnék A-val, ez annyit tenne, hogy az adott rendszer eredője zérus, vagyis hogy a rendszer erői egyensúlyban vannak.

42. Lássuk most azt az esetet, melyben a rideg testre (35) ható erőknek különböző támadáspontjuk van.

23. ábra. Nem-párhuzamos erők összetétele.

Ha az erőket előtüntető vonalak találkoznak, az erőket mindössze is csak A és D támadáspontjaikból (23. ábra) át kell helyezni C találkozáspontjukba; ezután úgy bánunk el velök, mint abban az esetben, mikor egy egyedüli ponton támadnak (39), és az eredőt olyannak vehetjük fel, mely a parallelogramm átszögellőjének vagy meghosszabbításának bármely pontjában támad.

Ily módon tehető össze egyazon síkban levő egymással nem párhuzamos bármely két erő.

43. Két párhuzamos erő eredője egyenlő az erők algebrai összegével, és a támadáspontjukat összekötő egyenest az intenzitásukkal fordított viszonyban levő részekre osztja.

47

Legyen például adva a P és Q erő (24. ábra), mely az egymással ridegen összekötött A és B pontokon támad és egyazon tájék felé irányul. AB mentén egy olyan C pontot választunk, hogy a P : Q = BC : AC arány álljon, ezután CR-t AP-vel és BQ-val párhuzamosan vonjuk s összegükkel egyenlőnek szabjuk. Ez alkotja az R = P + Q eredőt.

24. ábra. Egyirányú erők összetétele.

25. ábra. Ellenkező irányú erők összetétele.

Ha ellenben ellenkező AP és BQ erőkkel (25. ábra) van dolgunk, az eredő intenzitását R = P – Q adja, mely a nagyobb P erővel egyazon tájék felé irányul, és BA meghosszabbítását C-ben akként fogja találni, hogy a P : Q = BC : AC arány, vagy pedig a

P × AC = Q × BC (1)

egyenlőség most is álljon.

Ez a tétel egyszerű geométriai megfontolások segítségével az erőparallelogramm tételéből vezethető le. Legyen ugyanis P és Q (26. ábra) két párhuzamos, egyazon tájék felé irányuló erő, mely egy rideg test A és B pontján támad. Kössük ezeket össze egyenessel, és tegyük fel, hogy ennek meghosszabbítása mentén két egyenlő és ellenkező AS és BS' erőt adunk a rendszerhez; ezek egyensúlyban vannak (36). P-t és S-t összetesszük AF-fé, Q-t és S-t pedig BG-vé, és az így kapott két erőt az őket előtüntető vonalak O találkozáspontjába helyezzük át.

48

26. ábra. Párhuzamos erők összetétele.

Itt szétbontjuk őket az AB-vel párhuzamos OT és OT' erőkre, melyek egyenlők lévén, egyensúlyban vannak, és a P-vel és Q-val párhuzamos OP' és OQ' erőkre, melyek P-vel, illetőleg Q-val fognak egyenlők lenni.

Látjuk tehát, hogy az adott két erőt helyettesíthetjük velök egyenlő és párhuzamos másik két erővel, melyek O ponton támadnak, vagyis egy egyedüli R = P + Q erővel, mely szintén O ponton, vagy pedig OR-nek bármely más pontján támad, tehát például C ponton, hol is OR az AB-t találja.

Már most az SAF és GAO hasonló háromszögekből folynak a következő arányegyenletek:

SF : CO = SA : CA,     AP : CO = SA : CA;

S'BG és CBO háromszögekből pedig

CO : S'G = CB : S'B,     CO : BQ = CB : SA;

melyek egybevetéséből az

AP : BQ = BC : CA

arányegyenlet, tehát szintén az (1) alatti egyenlőség származik, melyet be akartunk bizonyítani. Hasonló a bizonyítás, mikor az erők ellenkező tájékok felé irányulnak.

Hogy evvel a tétellel mentül jobban megbarátkozzunk, kisérletileg is be fogjuk bizonyítani.

27. ábra. Párhuzamos erők egyensúlya.

Az AB pálczika (27. ábra) két szálon függ, melyek két kerékre vannak vetve, és végeiken a p és q súlyok függnek, melyek a pálczika súlyát egyensúlyozzák úgy, hogy a pálczika, ha nem tekintünk a surlódásra, egészen szabadon

49

mozoghat, mintha nem is volna alávetve a nehézség hatásának Ha a szálak szabad végeire a P és Q súlyokat függesztjük, látni fogjuk, hogy az egyensúly fentartására valamely R = P + Q súlyt kell a pálcza valamely C pontjában felfüggeszteni, mely pontra nézve az AC × P = BC × Q feltételnek kell állania. És ez az R súly egyensúlyban volna egy vele egyenlő, felfelé irányuló erővel, mint a minő irányúak a fonalakra A-ban és B-ben ható feszítések. Ha a kerekeket akként mozdítjuk el, hogy a szálak a függélyestől eltérjenek, az egyensúly meg van zavarva.

44. Valahányszor két párhuzamos és ellenkező erő egymással nem egyenlő, eredőjök meghatározható; de egyenlőség esetében (28. ábra) az előterjesztett tétel szerint zérussal egyenlő eredővé tevődnének össze, melynek támadáspontja a végtelenbe esnék, mi a feladat lehetetlenségét mutatja. Két ilyen erőnek nincs egy egyedüli eredője: úgynevezett erőpárt alkot, és azon van, hogy a testet, melyre hat, forgásnak indítsa.

28. ábra. Erőpár.

45. Mikor tetszésszerinti számú párhuzamos erőt akarunk összetenni, mindenek előtt két csoportba osztjuk őket, egy-egy csoportba foglalván azokat, melyek egyazon tájék felé vannak irányulva, és meghatározzuk mindegyik csoport eredőjét olyképen, miként a párhuzamos erőkre nézve mondottuk (43); ily módon a rendszert visszavezetjük csupán csak két párhuzamos és ellenkező erőre, melyeket R' és R''-rel fogunk jelölni. Három eset merülhet fel:

R'' és R'' nem egyenlő, s ekkor a rendszer egy egyedüli R = R' – R'' eredővé válik (43);
R és R'' egyenlő és különböző egyenesek mentén hat; az adott rendszer egyértékű egy erőpárral (44)
R' = R'' és egyazon egyenes mentén hat; a rendszer egyensúlyban van (36).

50

Látjuk tehát, hogy a párhuzamos erők valamely rendszerére nézve nem elégséges, hogy az erők algebrai összege zérus legyen, hanem még az ellenkező irányokban ható csoportok eredőinek is egyazon egyenes mentén kell hatniok.

46. A 29. ábra előtünteti a p, p', p'' három párhuzamos erő R eredőjének az imént mondottak szerint való meghatározására végrehajtandó szerkesztést. Mivel ez a szerkesztés változatlan marad, bármily irányúak is az összetevők, nyilvánvaló, hogy eredőjöknek O támadáspontja nem változik meg, ha mindannyiuknak megváltozik az iránya, miként ezt az ábrában a pontozott vonalak mutatják. Ezt a pontot, melyen az eredő maradandóan átmegy, midőn a párhuzamos összetevők együttesen forognak, a párhuzamos erők középpontjának nevezzük, és pedig azért nevezzük így, mert az adott párhuzamos erők a testet épen azon a módon késztetik mozgásra, mintha mindannyian, illető intenzitásukkal, ebben a pontban volnának egyesítve és ezen a ponton támadnának.

29. ábra. Párhuzamos erők eredője.

47. Az imént kifejezett tételnek fontos alkalmazása van a nehézségnek alávetett testekre. Mindegyik molekulájok a rajta átmenő függélyes mentén való esésre van késztetve (37). A különböző pontok függélyesei a valóságban a Föld czentrális részei felé futnak ugyan össze, de a földsugár olyan nagy azon testek méreteihez képest, a melyekkel dolgunk van, hogy feltehetjük, hogy e függélyesek a végtelenben találkoznak. Ugyanis egymástól 1 km-nyire levő két függélyes körülbelül ½ percznyi

51

szöget zár be, (*) és két függő ón, ha Szt. Péter templomának kupoláján egymástól 1 m távolságban fel volna függesztve, a kövezet közelében alig volna a milliméter századrészével közelebb egymáshoz. Ennélfogva valamely test molekuláinak súlyát észrevehető hiba nélkül párhuzamos erőknek tekinthetjük: eme párhuzamos erők eredője a test súlya és középpontjuk (46) a test súlypontja.

Azokból, miket a párhuzamos erők középpontjára nézve megjegyeztünk, következik, hogy minden testnek egy egyedüli és többi pontjához képest változatlan helyzetű súlypontja van; mert ha a test a térben forog, ez épen annyi, mintha molekuláinak súlyai párhuzamosan maradva, ama pontok körül forognának.

Mikor tehát valamely test egyensúlya forog szóban, súlyát egy egyedüli erőnek tekinthetjük, mely a súlypontján támad és függélyes irányban hat.

30. ábra.

31. ábra.

A súlypont kísérleti meghatározása.

Ha valamely test (30. ábra), mely A pontjában fonálra van függesztve, nyugalomban marad, úgy ez annak a jele (37), hogy a fonál meghosszabbítása átmegy a test G súlypontján; függesszük most fel a testet egy C másik pontban: a súlypontnak mindig a fonál meghosszabbításán kell feküdnie; ennél fogva a két meghosszabbítás metszéspontjának felkeresésében kisérleti módszerünk van bármely test súlypontjának meghatározására.

Ha a test homogén és geométriailag szabályos alakú, a súlypont puszta számítással is meghatározható.

(*) Tekintve ugyanis a méter definiczióját, a Föld egyik főkörének kerülete 40000 km, és ha ezzel a számmal elosztjuk a kör kerületének megfelelő perczek számát (vagyis 360×60-at), a 27:50 értékét kapjuk.

52

Két egyenlő súlyos pontnak, ha súlytalan és merev a kapcsolatuk, súlypontja a kölcsönös távolságuk közepén van (43).

Egy súlyos egyenes számtalan, a végeitől egyenlő távolságban levő pontok párjára szétbontva képzelhető, és ennélfogva súlypontja a felező pontjába esik.

Valamely síkidomban átmérőnek nevezzük az olyan egyenest, mely az egymással párhuzamos és az idom szélétől határolt egyenesek rendszerét felezi; gondoljuk meg, hogy ha. egy idomot, melynek átmérője lehet, számtalan párhuzamos éa igen vékony, üzikai egyeneseknek tekinthető szeletre felosztva, képzelünk, eme szeletek súiypontjai az átmérön fognak feküdni, és azt következtetjük, hogy ezen az átmérön kell feküdnie ai egész idom súlypontjának is.

Ha tehát valamely idomnak több átmérője lehet, súlypontja ezen átmérők metszéspontjába fog esni; így a körnek, bármely szabályos sokszögnek, egy parallelogrammnak súlypontja a geométriai középpontban van, a háromszögé pedig a három felező vonal metszéspontjában; e vonalak hosszuknak az illető csúcstól számított két harmadában metszik egymást.

Hasonlóképen azon szilárd test súlypontja, melyen át egy átmérő sík, azaz olyan sík vethető, mely egymással párhuzamos, és a test szélétől határolt egyenesek rendszerét felezi, ezen a síkon fog feküdni. Tehát több átmérői síkkal rendelkező szilárd test súlypontja e síkok metszésében van; így a gömbé, a szabályos soklapoké, a parallelepipédé, a hasábé és a hengeré az alak középpontjában fog feküdni. Valamely háromoldalú gúlában átmérő sík az a sík, mely magában foglal egy csúcsot és magában foglalja a szemközt fekvő lap egyik felező vonalát; tehát könnyen kimutatható, hogy a gúla súlypontja egyik csúcsát az alap súlypontjával összekötő egyenesben, nevezetesen pedig emez egyenesnek a csúcstól számított háromnegyed részében fekszik. És eme szabálynak kiterjesztése tetszés szerinti gúlára vagy kúpra sem jár nehézséggel, melyeket háromoldalú gúlák összességének tekinthetünk.

53

Az olvasó gyakorlásul maga tűzheti ki magának más geométriai alakok súlypontjának meghatározását.

48. Mi inkább áttérünk az erőpárok, vagyis két párhuzamos, egyenlő, de ellentett irányú erő rendszerének tárgyalására, mely rendszerekről láttuk (44), hogy eredőjök nem lehet.

Az erőpár karjának a P és –P erőkre (32. ábra) közösen merőleges AB = B egyenest nevezzük; az erőpár nyomatékának pedig a karnak az egyik erő intenzitásával való P·b szorozmányát, az erőpár síkjának a két erőtől meghatározott síkot, az erőpár tengelyének pedig egy olyan tetszés szerinti egyenest fogunk nevezni, mely az erőpár síkjára merőleges.

32. ábra. Erőpár.

33. ábra. Erőpár
negativ forgással.

Ha már valamely erőpárnak nem lehet eredője, haladó mozgást sem idézhet elő; de nyilvánvaló, hogy a testet, melyre hat, forgatni igyekszik. A 32. ábra esetében a forgás az óramutató forgása irányában történnék, s meg fogunk állapodni abban, hogy az ilyen forgást pozitívnak, az ellenkező irányút pedig negativnak nevezzük, mely utóbbi a 33. ábra esetében állana elő. Ha két erőpár egyazon irányú forgást igyekszik létrehozni, úgy hasonlóknak, az ellenkező esetben pedig nem-hasonlóknak fogjuk mondani.

Két nem-hasonló és egyenlő nyomatékú erőpár, mely vagy egyazon síkban vagy változatlanúl összekapcsolt párhuzamos síkokban hat, egymással egyensúlyban van.

Ha ugyanis először feltesszük, hogy a két erőpárt alkotó négy erő egymással párhuzamos és egyazon síkban fekszik, úgy az erők a 45. pont szerint tétetnek össze és azt fogjuk látni, hogy 3. alatti eset áll be.

Másodszor tegyük fel, hogy a két erőpár még mindig egyazon síkban fekszik, de az erők szöget zárnak be. A négy erőt a

54

nem párhuzamos erőit összetételének a 40. pontban előadott szabálya szerint kettesével tesszük össze, s látni fogjuk, hogy a két eredő egyenlő és ellenkező.

Innét kitűnik, hogy két egyenlő nyomatékú hasonló erőpár, mely egyazon síkban hat, egyazon hatást létesít, és hogy ennélfogva valamely erőpár a síkjában tetszés szerint áthelyezhető, épen úgy, a mint valamely erő a saját irányában bármely pontba áthelyezhető (34), ha ez a pont az előbbeni támadásponttal rideg összeköttetésben van.

Harmadszor, tekintsük a két nem hasonló erőpárt két párhuzamos síkban. Ha a négy erő nem párhuzamos, az erőpárok egyikét a saját síkjában akként helyezzük át, hogy a párhuzamosság létrejőjjön, ezután egy a négy erőre merőleges síkot vetünk, s egyenesekkel összekötjük azokat a pontokat, melyekben az egyazon tájék felé irányuló erők vonalai e síkot metszik; ez a két egyenes egy pontban fog találkozni, és ha az egyazon tájék felé irányuló erőket kettesével összetesszük, könnyű kimutatni, hegy a két egyenlő eredőnek ezen a ponton kell átmennie. A tétel tehát minden lehető esetre nézve be van bizonyítva.

E tételből következik, hogy valamely erőpár nyomatéka ugyanezen erőpár intenzitását méri, vagyis arányos a hatással, melyet létesíthet; ennélfogva valamely adott (P‚ b) erőpár helyettesíthető egy másik (P', b') erőpárral, ha a

Pb = P'b'

egyenlőség áll, és ha a két erőpár síkja egymással párhuzamos.

34. ábra. Tengelynyomaték.

49. Ezt megállapítva; valamely (P, b) erőpárt az ő tengely-nyomatékával, azaz tengelyének egy olyan AL darabjával (34. ábra) fogjuk előtüntetni, mely arányos a nyomátékával és síkjának azon az oldalán van felrakva, a melyen valamely megfigyelő a forgást a pozitiv irányban (48) látná végbemenni, és ekkor könnyű kimutatni a következő tételt:

55

Két erőpár egy egyedüli erőpárrá tehető össze, melynek tengelynyomatéka az összetevő erőpárok tengelynyomatékaiból szerkesztett parallelogrammnak átszögellője.

Szabjunk ugyanis ki a (P, a) és (Q, b) erőpárok (35. ábra) M és N síkjának OV metszésvonalán egy tetszésszerinti AB = c hosszt, és a két erőpárt helyettesítjük a (P', c, P'') és (Q', c, Q'') erőpárokkal, melyekre nézve a

P'c = Pa és Q'c = Qb

feltételek álljanak.

Ezután megszerkesztjük a P'Q' és P''Q'' parallelogrammokat, és megjegyezzük, hogy az adott erőket helyettesítve képzelhetjük azon erőkkel, a melyeket e parallelogrammok AR' és BR'' átszögellői ábrázolnak. Ezek az erők egyenlők, párhuzamosak és ellenkező irányúak, miként a két parallelogrammnak megvizsgálásából kitűnik. E két erő tehát egy (R', c) erőpárt alkot, mely az adott erőpárok eredője.

35. ábra. Erőpárok összetétele.

56

OV-nek egy tetszésszerinti O pontjából emeljük az M és N síkra az OS, illetőleg OT merőlegeseket, melyet az adott erőpárok tengelynyomatékát tüntessék elő, azaz a melyekre nézve az

OS

OT
=
Pa

Qb
=
P'

Q'

feltétel álljon. E kapcsolatnál és azon körü]ménynél fogva, hogy az SOT szög egyenlő az M és N síkok hajlását mérő Q'AP' szöggel, az ST parallelogramm hasonló a P'Q'-va1, minélfogva:

OS : OT : OR = AP' : AQ' : AR' = P'c : Q'c : R'c = Pa : Qb : R'c,

vagyis az ST parallelogramm átszögellője arányos az eredő erőpár nyomatékával s ezenfelül még merőleges ezen erőpár síkjára, vagyis nem egyéb ezen erőpár tengelynyomatékánál, a mi bizonyítandó volt.

Következik tehát, hogy az erőpárok összetételére nézve ugyanazon képletek érvényesek, melyeket a sebességekre vonatkozólag levezettünk (23).

A levezetett tétel folyománya, hogy párhuzamos síkokban fekvő két erőpárnak eredő erőpárja egyenlő az összetevő erőpárok algebrai összegével.

Alig kell megjegyeznünk, hogy két erőpár összetételéről áttérhetünk akárhánynak összetételére, épen úgy, mint az egyszerű erők esetében; úgy szintén egy adott erőpár szétbontható több erőpárra, melyek adott feltételeknek tesznek eleget.

36. ábra. Tetszésszerinti
erők támadása.

50. Áttérünk most annak az egészen általános esetnek tárgyalására, a melyben tetszésszerinti számú P₁, P₂, P₃, ... erő tetszésszerinti módon támad egy merev testre. E végből megjegyezzük, hogy az erők egyike, például P₁ (36. ábra), az ő A támadáspontjából maga-magával párhuzamosan áthelyezhető egy tetszésszerinti, AP₁-től d távolságban levő O pontba, feltéve, hogy a rendszerhez egy az AP₁O síkban fekvő és P₁d nyomatékú erőpárt kapcsolunk. Feltehetjük ugyanis, hogy O-ban két ellenkező, P₁-gyel egyenlő és párhuzamos P és –P erő

57

támad; P azonban nem egyéb az O-ba áthelyezett P₁-nél, a másik két (P₁, –P) erő pedig épen a P₁d nyomatékú erőpárt alkotja. A hogyan elbántunk P₁-vel, ugyan úgy járhatunk el a többi adott erővel: áthelyezzük valamennyit O pontba; ennélfogva egy tetszésszerinti erőrendszer visszavezethető ugyanannyi egy pontban támadó erőre, a melyek egy eredőt hoznak létre, és egy erőpár-rendszerre, mely egy egyedüli erőpárrá tehető össze.

Nyilvánvaló, hogy az R eredőnek mindig ugyanaz az intenzitása és ugyanaz az iránya is, bármiként választjuk is az O támadáspontot, azonban az eredő (S, –S) erőpár az O ponttal együtt síkját és nyomatékát változtatja. Valóban, bontsuk szét az (S, –S) erőpárt kettőre: egy (T, –T) párra, mely az R-re merőleges síkban feküdjék, és egy (V, –V) párra, mely az R-et tartalmazó síkban feküdjék; ezután helyezzük át R-et ez utóbbi síkban egy olyan A pontba, hogy az áthelyezésből származó erőpár egyensúlyozza a (V, –V) erőpárt. Ekkor csakis az A pontban támadó egyedüli R erő és az R-re merőleges valamely síkban fekvő egyedüli (T, –T) erőpár marad hatásos. Ennélfogva valamely tetszésszerinti erőrendszer mindig visszavezethető egy egyedüli erőre és egy egyedüli erőpárra, melynek tengelye ugyanolyan irányú, mint az erő.

Mivel már most egy erőpárt egy egyedüli erő nem egyensúlyozhat, a rendszer egyensúlyára nézve megkivántatik, hogy úgy az eredő erőpár, mint az eredő erő külön-külön legyen egyenlő zérussal. Valamely szabad szilárd test egyensúlyának ezek a szükségképeni és elegendő feltételei, azaz ezek nélkül az egyensúly nem állhat fenn, és ha teljesítve vannak, az egyensúlynak okvetetlenül létre kell jönnie.

Az eme feltételeket kifejező egyenletek levezetésére, vagy általában az R eredőnek és az (S, –S) eredő erőpárnak az

58

adott erők függvényében való kifejezésére az R eredőnek tetszés szerint választott O támadáspontjában három egymásra merőleges tengelyt veszünk fel: az adott erők mindegyikét szétbontjuk a tengelyekkel párhuzamos három összetevőre, ezen összetevőket áthelyezzük O pontba, számon tartva az innét származó erőpárokat.

Ily módon az adott rendszert visszavezettük közös támadáspontú és egymásra merőleges három erőrendszerre és három egymásra szintén merőleges erőpár-rendszerre. Az előbbeni három rendszer eredőjét úgy kapjuk, mint a 23. pontban, és ez az R; a másik háromnak eredőjét az imént fejtegetett szabályok szerint határozzuk meg, s ez az (S, –S).

37. ábra. Forgató nyomaték.

51. Tekintsünk most egy nem szabad (38) testet, s lássuk először is azt az esetet, melyben pontjainak egyike szilárd, de a test ezen pont körül szabadon foroghat. A szilárd pont legyen C (37. ábra) s A ponton támadjon a P erő. A C-ből az erőnek AP irányára húzott CM merőlegest az erő karjának nevezzük C pontra vonatkozólag, és az erőt előtüntető egyenessel s az erő karjával szerkesztett derékszögű négyszög ezen erőnek a C pontra vonatkozó forgató nyomatékát méri. Ez más szóval annyit tesz, hogy valamely erőnek valamely pontra vonatkozó nyomatékát az erő intenzitásának a karjával való szorozmánya méri, vagy szintén, hogy az erő nyomatéka egyértékű annak az erőpárnak a nyomatékával, mely létesülne (50), ha az erőt maga-magával párhuzamosan ebbe a pontba, azaz A-ból C-be helyeznők át.

Megjegyezzük, hogy pozitivnak vesszük azokat a nyomatékokat, melyek a rendszert az óramutató járása irányában

59

való forgásra késztetik, a többit pedig negativnak. Az ábrán a P erő nyomatéka pozitiv, a Q-é pedig negativ.

Ebből következik, hogy ha több párhuzamos erő fekszik egy síkban, a középpontjukra (46) vonatkozó nyomatékaik algebrai összege zérus.

Úgy szintén következik, hogy valamely erőpárt létesítő két erő nyomatékának algebrai összege, a nyomatékokat az erők síkjának bármely pontjára vonatkoztatva, állandóan egyenlő magának az erőpárnak a nyomatékával.

52. Két erő forgató nyomatékának algebrai összege, a nyomatékokat az erők síkjának valamely pontjára vonatkoztatva, egyenlő az eredőjük nyomatékával.

Eme tétel kimutatására előrebocsátjuk, hogy valamely erőnek valamely pontra vonatkozó forgató nyomatéka kifejezhető azon háromszögnek kétszeres területével, melynek alapja az erőt előtüntető egyenes, magassága pedig az erő karja. Ezután tekintsünk először is két összehajló P és Q erőt és eredőjüket, mely erőket sorban az AP, AQ és AR vonalak (38. ábra) tüntetik elő. Húzzuk az erők A támadáspontjából az MN merőlegest az AO egyenesre, mely a támadáspontot összeköti az O ponttal, melyre vonatkozólag a nyomatékokat számítjuk, és a PP', QQ' és RR' egyeneseket párhuzamosan AO-val; húzzuk meg végre az OP, OQ, OR, OP', OR' és OR' egyeneseket, és vegyük figyelembe, hogy az O csúcspontú különböző háromszögekre nézve a következő egyenlőségek állanak fenn:

38. ábra. Két erő
forgató nyomatéka.

APO = AP'O,     AQO = AQ'O = P'R'O,     ARO = AR'O

De

AP'O + P'R'O = AR'O,

és ennélfogva

2ARO = 2APO + 2AQO,

vagyis:

R nyomatéka = P nyomatéka + Q nyomatéka (1)

60

Hasonló a levezetés abban az esetben, midőn O pont a PAQ szög szárai között fekszik, csakhogy ekkor az összetevők nyomatékai ellenkező jelűek, és ennélfogva az eredő nyomatéka egyenlő ama nyomatékok abszolut értékének különbségével.

39. ábra. Párhuzamos erők
forgató nyomatéka.

A tétel érvényes a párhuzamos erőkre nézve is (39. ábra). Ezekre nézve ugyanis azt találtuk (43), hogy

AP : BQ = BC : AC;

de azokból a hasonló háromszögekből, melyeket kapunk, ha O-ból az erők irányára az OA'C'B' merőlegest húzzuk,

BC : AC = B'C' : A'C' = (OB'–OC') : (OC'–OA'),

tehát

AP × (OC'–OA') = BQ × (OB'–OC'),

és mivel CR = AP + BQ, azért

CR × OC' = AP × OA' + BQ × OB',

mely kifejezés ugyanazt mondja, mint az (1) alatti.

Hasonló a levezetés abban az esetben, mikor az O pont, melyre vonatkozólag a nyomatékokat számítjuk, a két párhuzamos összetevő között fekszik. Tehát a tétel minden lehető esetre nézve bebizonyítottnak tekinthető.

61

53. Térjünk most vissza az egy szilárd pont körül forgó testre. Nyilvánvaló, hogy egyensúlyban fog lenni mindakkor, midőn a reája ható erők eredője átmegy ama ponton, mert ekkor az eredő hatását ugyanezen pontnak ellenállása egyensúlyozza. De ugyanekkor az eredő karja zérus lévén, a nyomatéka is zérus, és az imént levezetett tételnél fogva mondhatjuk, hogy a mikor az erők mind egy síkban feküsznek, az egyensúly fennáll, ha az egy szilárd pontra vonatkozó nyomatékok algebrai összege zérus.

E tételt a 40. ábrabeli készülék segítségével a szokásos módon kisérletileg beigazolhatjuk. A készülék áll AB vonalzóból, mely egyenlő részekre van beosztva, és közepén felfüggesztve; mindegyik osztáspontban horoggal van ellátva, melybe súlyok akaszthatók. A következő ábrák az egyensúlynak mind megannyi különböző esetei. A 41. ábrában két egyenlő erő egyenlő és ellenkező karon, a 42-ikben egy egyedüli erő zérus-karon, a 43-ikban 3 egységnyi erő 8 hosszegységű karon, és 8 egységnyi erő 3 hosszegységű karon hat úgy, hogy a két nyomaték egyenlő és ellenkező.

40. ábra. Egyensúlyozó készülék.

41. ábra. Egyenlő erők, egyenlő karok.

42. ábra. Egyetlen erő zérus karon.

43. ábra. Több erő, különböző karok.

A Föld vonzásának alávetett test olybá vehető, mintha súlypontjában egy egyedüli függélyes erő támadná meg (47). Hogy az egyensúly létrejöjjön, kell, hogy ezen erőnek a felfüggesztés pontjára vonatkozó nyomatéka zérus legyen; mivel pedig az erő, mely nem egyéb a test súlyánál, nem válhatik zérussá, kell, hogy

62

a karja legyen zérus; más szavakkal: kell, hogy a súlypontot ama ponttal összekötő egyenes függélyes legyen.

44. ábra. – 45.ábra.
Közönyös és esékeny egyensúly.

Ha ezen feltételnek elég van téve, három eset merülhet fel: a súlypont vagy összeesik a felfüggesztés pontjával, vagy mélyebben fekszik (44. ábra), vagy magasabban fekszik (45. ábra). Az első esetben a test egyensúlyban marad, bármint forgassuk is; a másodikban, ha egyensúlyi helyzetétől kissé kimozdítjuk, látni fogjuk, hogy a súly nyomatéka a testet egyensúlyi helyzetébe viszszavezetni igyekszik; a harmadikban minden csekély elmozdításra a test azon van, hogy az egyensúlyi helyzettől még tovább távozzék. Az első esetben az egyensúlyt közönyösnek, a másodikban állékonynak, a harmadikban esékenynek mondjuk. Észrevesszük, hogy közönyös egyensúly esetében valami kimozdítás a súlypontot sem feljebb nem emeli, sem alább nem szállítja, állékony egyensúlykor felemeli, esékeny egyensúlykor pedig alább szállítja; és ugyanekkor észrevesszük azt is, hogy a súlypont a lehető legmélyebb helyzetbe jutni igyekszik.

54. A nem szabad testek második eseteként most azt az esetet fogjuk tárgyalni, a melyben egy tengely állandóan szilárd marad, azaz feltesszük, hogy két szilárd pontot összekötő egyenes körüli forgáson kívül más mozgás nem lehetséges.

A 46. ábra tüntesse elő a testnek egy a szilárd tengelyre merőleges metszetét; a tengely a rajzlap síkját O-ban metszi, és A pontban támadjon egy erő, mely ne feküdjék a rajznak AMO síkjában. Bontsuk szét ezt az erőt két erőre: egy P' erőre, mely párhuzamos a tengelylyel, és egy P'-re, mely a rajz síkjában fekszik, és ezt az utóbbi erőt tüntesse elő az AP'' vonal. Nyil-

46. ábra. Forgás
tengely körül.

63

vánvaló, hogy ha a tengely szilárd, P' nem létesíthet mozgást, és ennélfogva elegendő a P'' erőnek a tengelyre vonatkozó nyomatékát tekinteni, melyet AP''×OB, vagyis intenzitásának szorozmánya a tengely és az iránya közötti távolsággal (51) határoz meg.

Ha ugyanígy járunk el a testre ható valamennyi erőre nézve, látni fogjuk, hogy visszavezethetők csupa a tengelyre merőleges síkokban ható erők rendszerére, és ennélfogva azt következtetjük (53), hogy valamely szilárd tengely körül forgó test egyensúlyának szükséges és elegendő feltétele, hogy a tengelyre merőleges irányba eső erőknek ugyanezen tengelyre vonatkozó nyomatékának összege zérus legyen.

Ebből a tételből következik, hogy a tengelyre merőleges síkokban működő két erő, P és Q, melyeknek karja a és b, ugyanazt a hatást létesíti, ha nyomatéknk egyenlő, azaz ha

Pa = Qb

Mily helyzetben van tehát egyensúlyban egy a nehézség hatásának alávetett és szilárd tengely körül forgó test? Ha a tengely függélyes, egyensúlyban marad bárminő helyzetben, mert súlyának a tengelyre merőleges síkba visszavezetett része zérus, és ennélfogva a tengelyre vonatkoztatott nyomatéka mindig zérus. Ha a tengelynek bárminő más iránya van, a test súlypontjának szükségképen a tengelyen átvetett függélyes síkba kell esnie, mert ha ezen kívül feküdnék, nyomatéka nem lehetne zérus. Itt is felmerülhet az egyensúlynak három faja: az állékony, esékeny és közönyös.

55. Tekintsünk végre egy szilárd síkra támaszkodó testet. Támaszkodjék reá először is csak egyetlen egy pontban: egyensúly létrejön, ha a testre ható valamennyi erőnek csak egy egyedüli eredője van, mely merőleges a síkra és ama támasztó pont felé irányul.

Ha azután a test a síkot több pontban érinti, valamennyi erőnek egy a síkra merőleges eredőt kell létesítenie, és elegendő, hogy ez az eredő a síkot az úgynevezett támasztó lapon érje,

64

47. ábra. Támasztó lap.

vagyis azon a legnagyobb kiszögellő sokszögön belül érje, melynek csúcsait néhány támasztó pont alkotja, és a mely valamennyi többi támasztó pontot magában foglalja. Ha például támasztó pont az a hét pont, mely a 47. ábrában van előtüntetve, úgy elegendő, hogy az erők A eredője a síkot az ABGLE sokszögön belül találja.

Egy vízszintes síkon fekvő szilárd test tehát egyensúlyban van, ha a súlypontján átmenő függélyes a támasztólapon belül esik. Ily körülmények között van a 48. ábrabeli henger, mi azonban a 49. ábrabelire nézve már nem áll.

48. ábra. Állékony egyensúly.

49. ábra. Esékeny egyensúly.

Itt is előfordulhat az egyensúlynak három faja. Így például az 50. ábrában látható játékban a dugó egy gombostűre támaszkodik, de azért az egész igen állékony egyensúlyban van, mivel a súlypont a megtámasztás pontján jóval alul fekszik. Egy forgásbeli homogén szilárd test, mely egy egyenesnek körülforgásából eredt, ha görbe felületével vízszintes síkra támaszkodik, közönyös egyensúlyban van; a csúcsára állított valamely kúp esékenyben van, stb.; általában ismételve

50. ábra. Állékony egyensúly.

65

látjuk, hogy az egyensúly állékony, ha valamely kimozdítás a súlypont emelkedését okozza, és esékeny, ha a súlypont alábbszállását idézi elő.