V. FEJEZET
MUNKA ÉS ENERGIA
99.
Eddigelé részint azokat a feltételeket tanulmányoztuk, melyek mellett több erő egymás hatását semlegesíti, részint pedig a mozgást, melyet az erők a különböző testekre hatva létesíthetnek. De a gyakorlati életben az erőket legtöbbnyire munka végzésére használjuk fel. Mechanikai szempontból munkát végezni vagy dolgozni annyit tesz, mint ellenállásokat legyőzni; ilyen ellenállások a kohézió, adhézió, a rugók rugalmassága, a nehézség, a surlódás, stb.Hogy munka végeztessék, nem elegendő, hogy a mozgató erők ezeket az ellenállásokat pusztán egyensúlyozzák, hanem kell, hogy őket legyőzzék bizonyos úton át, melyet az ellenállások támadáspontja az ellenállások irányával ellenkező irányban befut. Ha például valamely testet bizonyos magasságra kell emelni, súlyát, mely felülről lefelé hat, le kell küzdeni az egész úton át, melyet vele alulról felfelé befuttatunk; ha egy darab fát szét kell fűrészelni, rostjainak kohézióját meg kell szüntetni a fűrésztől befutott útnak minden pontjában; ha valamely testet vízszintes úton húzunk, a surlódás ellenállását az út minden pontjában le kell győzni.
Innét kitűnik, begy állandó ellenállás esetében a végzett munka a legyőzött ellenállással és az ezen ellenállással szemben befutott úttal összetett viszonyban van. A gyakorlatban, a mint minden erőt súlyokkal hasonlítunk össze (31) és erőegységül rendszerint a kilogramm-tömeg súlyát vesszük, úgy a különböző erők legyőzésére megkivántató minden munkát azon munkával hasonlítunk össze, mely bizonyos tömegnek adott
magasságra való felemelésére megkivántatik; munkaegységül a kilogrammmétert (jele kgm) vesszük. Ez az a munka, mely légüres térben 1 kg-nak 1 m magasságra való felemelésére megkivántatik. Ha tehát 4 kilogrammot 5 méterre emelek fel, nem tekintve a levegő jelenlétét, 20 kilogrammméter munkát végzek. Általában pedig az az E mnnka, mely megkivántatik, hogy valamely Q erőnek támadáspontját az erővel ellenkező irányban s úton át tovamozdítsuk,
E = Qs.
A munka értéke merőben független a munka elvégzésére fordított időtől, de a gyakorlati alkalmazásokban ez az idő igen fontos; a technikus valamely mótort annál többre becsül, mentül rövidebb idő alatt végez el egy meghatározott munkát. Ez oknál fogva a gyakorlatban rendszerint az 1 másodpercz alatt végzett munka forog szóban; ezt az illető mótor munka-sikerének (effektusának) mondjuk. A munkasiker egysége az úgynevezett lóerő, mely egyenlő 1 másodpercz alatt végzett 75 kgm munkával; ha tehát – nem szabatosan – azt mondják, hogy ez meg az a gép ennyi meg annyi lóerejű, ez annyit tesz, hogy ennyiszer meg annyiszor 75 kgm munkát végezhet 1 másodpercz alatt.
100.
A munkának az alapegységekre (80) vonatkozó méretei a következők:E = [FL] = [L2T–2M].
Tudományos vizsgálatokban a munka abszolut egysége az a munka, melyet az abszolut erőegység (77) az útegységen végez; a C. G. S.-rendszerben tehát az a munka, melyet 1 din erő 1 cm úton át végez, s ezt az egységet erg-nek (vagy ergonnak) nevezzük.
Hogy tehát 1 g tömeget 1 cm magasságra emeljünk fel olyan helyeken, hol 1 g tömeg súlya 981 din, ehhez 981 erg kivántatik meg; mivel pedig ez a munka egyértékű a következővel:
0,001 kg-súly × 0,01 m = 10–5 kgm,
kitűnik, hogy
| 1 erg = |
|
. |
Egy kilogramméter egyértékű 98,1×106 erg-gel vagy 98,1 megaerg-gel.
Az erg igen kicsiny egység, mert csak egy milligrammot kell 1 cm magasságra felemelnünk, hogy 0,981 erg munkát végezzünk.
Valamely mótor munkasikerét a végzett munkának azon időhöz való viszonya méri, mely alatt a munka elvégeztetett; a mnnkasiker mérete tehát
W = [ET–1] = [L2T–3M],
és a C. G. S.-rendszer szerint valamely mótor akkor rendelkezik a munkasiker egységével, ha 1 sec alatt 1 erg mnnkát végez.
Mivel 1 lóerő 75 kgm másodperczenként, ezért
1 lóerő = 75×981×106 = 735,75×107 erg persec.
101.
Tegyük fel, hogy két, egymással egyenlő és ellenkező állandó erő, F és Q, valamely M tömegre hat, mely máskülönben egészen szabad, és hogy az F erő irányában v állandó sebességgel rendelkezik. Ez esetben F mozgató erőnek, Q pedig a mozgást gátló ellenállásnak tekintendő. A Q erőtől megkívánt vagy felemésztett munka, minthogy M tömeg s úton mozdul el, annyi mint Qs; e munkát F erő szolgáltatja vagy végzi, mely erő semmi más hatást nem létesít. Q munkáját ellenálló munkának, F-ét pedig mozgató munkának nevezzük.Ha továbbá abban állapodnnk meg, hogy valamely erő ugyanolyan jelű, mint az elmozdulás, melyet létrehozni törekszik, következik, hogy a mozgató Fs munka mindig pozitív, az ellenálló Qs munka pedig mindig negatív.
102.
Lássuk most, hogy miként kell meghatározni az erő értékét, mikor a mozgás iránya nem esik össze az erőkével. E végből tekintsünk egy Q súlyú testet (90. ábra), mely vala-mely F erő hatására a lejtőn surlódás nélkül emelkedik. A legyőzni való ellenállás nem az egész Q súly, hanem csakis a síkkal párhuzamos Q' összetevője (40),
90. ábra. Az erő értéke |
Általában, ha a mozgás iránya az F erő irányával θ szöget zár be, az erőnek s elmozduláson át való munkája Fscosθ.
Ezt ki is fejezzük, ha azt mondjuk, hogy az erő munkájának mértéke vagy:
az erő intenzitásának szorozmánya az útnak az erő irányára eső vetületével; vagy:
az útnak szorozmánya az erőnek az út irányába eső összetevőjével.
103.
Minthogy valamely erőnek egy adott irányban való összetevőjét az erőt előtüntető egyenesnek ezen irányra való vetülete tünteti elő (40), mivel továbbá valamely parallelogramm átszögellőjének tetszés szerinti egyenesre való vetülete egyenlő a két oldal vetületének összegével: következik, hogy az eredőnek valamely irány szerinti összetevője egyenlő két összetevőjének ugyanezen irány szerinti összetevőinek összegével, s ennélfogva az eredő munkája egyenlő az összetevők munkájának összegével.104.
A 102. pontbeli szabály, mely szerint a munka értékének meghatározására az erő intenzitását az útnak az erő irányára való vetületével sokszorozzuk, a görbevonalú pályák esetében is érvényes, mit könnyen megérthetünk, ha meggon-doljuk, hogy valamely görbe számtalan egyenesvonalú elemből összetettnek tekinthető és hogy ezen elemek adott irányra való vetületének összege épen egyenlő a görbének ugyanazon irányra való vetületével.
Ha továbbá megfontoljuk, hogy bárminő két ívnek vetülete, ha az ívnek végei összeesnek, egymással egyenlő, következik, hogy valamely erő munkája független a befutott úttól, és csakis ez útnak az erő irányára való vetületétől függ. Így például mindig 1 kgm munkára van szükségünk, ha 1 kg-t fel akarunk emelni 1 m-re, akár függélyes vonal mentén történik az emelés, akár surlódás nélkül való lejtőn vontatjuk fel a tömeget, akár pedig bárminő görbét fut be. És mindig egyazon munka fog kivántatni valamely tehernek a Mont Blanc-ra való felemelésére, a tenger színének bármely pontjától indulunk is ki és bármely útat választunk is.
105.
Abban a különös esetben, mikor a mozgás merőleges az erőre, az erő munkája zérus. Így zérus a czentripetális erő munkája a körmozgásban (93), zérus valamely test súlyának munkája, ha a test vízszintes síkon surlódás nélkül mozog. Hogy azonban ilyen síkon valamely testet, mely nyugalomban van, megmozdítsunk, mozgató munka kivántatik meg, mely a test M tömegétől és attól a sebességtől függ, melyet vele közölni akarunk.Tegyük fel, hogy erre a czélra állandó F intenzitású erőt használunk fel. Ez egyenletesen gyorsuló mozgást fog nemzeni, mely az M tömeggel t idő tartamában
| v = |
|
t |
sebességet fog közölni (68 és 72), és a melynél fogva a tömeg ezen idő tartamában az
| s = |
|
|
t2 |
útat fogja befutni (21, (3) képl.). Tehát az M tömeg, a v
sebesség és a mozgó test tehetetlenségének legyőzésére (93) végzett Fs munka között a következő kapcsolat áll fenn:
| (1) |
Ha már most valamely tömegnek és haladó sebessége négyzetének fél szorozmányát az illető tömeg eleven erejének nevezzük, * látjuk, hogy az a munka, melyet valamely egészen szabad tömegre ható erő végez, egyenlő az eleven erővel, melyet a tömeggel közöl.
Az (1/2)Mv2 kifejezést azért nevezték el eleven erőnek, mert azt a munkát fejezi ki, melyet valamely tehetetlen test nyugalomba való térésekor úgy végez, mintha eleven volna, mintha állat volna.
Hogy valamely mozgó tömeg épen úgy létesít munkát, mint valamely erő, mindenki előtt ismeretes dolog. A szél, mely hajókat hajt és fákat dönt le; a vízfolyások, melyek malmokat hajtanak; a pőrölyök, melyek megdolgozzák a fémeket; a tűzi fegyverek lövedékei, mind megannyi példái az olyan testeknek, melyek sebességök rovására munkát végeznek. Hogy pedig az egész munkát, melyet valamely test végezhet, valóban az ő eleven ereje méri, könnyen kimutatható, ha feltesszük, hogy a v sebesség alulról felfelé irányul, és hogy a legyőzendő ellenállás az M tömegnek P = Mg súlya. Ezen ellenállás miatt a kezdetbeli v sebesség az idővel arányosan folytonosan kisebbedik, és zérussá válik, midőn a nehézség hatásának alávetett test az
| s = |
|
= |
|
útat futotta be (70, (6) képl.), vagyis a mikor a
| Ps = |
|
munkát végezte.
* Régente a tömeg és a sebesség négyzetének egész szorozmányát nevezték eleven erőnek.
Ha ezt a képletet az (1) alatti előbbeni képlettel egybevetjük, észrevesszük, hogy valamely test, midőn nyugalomba tér, épen akkora munkát végez, mint a mekkorát felemésztett, mikor sebességére szert tett.
Lássunk néhány igen közönséges, az eleven erő tételével magyarázható példát. Meneteles [lejtős] országúton leszálló kocsi magától átjuthat egy magaslaton. Az inga, midőn legmélyebb pontjába érkezett, a kiinduló pontéval egyenlő magasságra száll fel (86). Valamely vasuti vonat a gép működésének megszünése után is tovább mozog mindaddig, míg a surlódásbeli ellenállás föl nem emésztette eme nagy tömeg eleven erejét. Vasbot, ha nagy sebességgel engedjük esni, halálos csapást mérhet, ha ellenben egyszerűen rátesszük valakire, alig észrevehető nyomást fejt ki. A czölöpverő gépekben a czölöp fejére bizonyos magasságból nagy súly esik; ha ez a súly a czölöpfejre egyszerűen rátétetnék, semmi különös hatása se volna.
106.
A 105 p. (1) képletéből még következik, hogy a midőn két erő, F és F', ugyanakkora s út mentén két szabad tömegre; M és M'-re hat, az erők viszonya egyenlő a létesített eleven erők (1/2)Mv2 : (1/2)M'v'2 viszonyával. LEIBNIZ eme felfogás nyomán az erőket a tömeg és a sebesség négyzetének szorozmányával kivánta mérni. Ellenben DESCARTES és követői azt állították, hogy az erőket a mozgásmennyiséggel (75), vagyis a tömeg és a sebességnek Mv szorozmányával kell mérni. Ez a nézetkülönbség a XVII . század filozófusai között hosszas vitát idézett elő. Azonban, miként gyakran megesik, mindegyik félnek igaza volt; mert a milyen helyes a LEIBNIZ aránya:F : F' = Mv2 : M'v'2,
ép olyan helyes a DESCARTES-é is:
F : F' = Mv : M'v',
csakhogy az előbbeni felteszi, hogy a két erő egyenlő útakon, az utóbbi pedig, hogy egyenlő időkben hat.
129 107.
Lássuk még, hogy a változó erő, a támadáspontjának útja és a munkája közötti kapcsolatnak a törvénye miként tüntethető elő grafikai módon.
Az AB egyenesnek (91. ábra) az A ponttól számított darabjai legyenek arányosak az erő irányában befutott útak vetületeivel, az AB-re húzott merőlegesek pedig legyenek arányosak az erőnek a különböző pontokban való intenzitásával. Ekkor az ADFE terület, mely az egymáshoz igen közel fekvő AD és EF merőlegesek közé esik, olyan trapéznek tekinthető, mely egyértékű az AE-vel és az erők (1/2)(AD+EF) átlagos értékével szerkesztett derékszögű négyszöggel. Ez az átlagos érték annál közelebb jár a valódihoz (22), mentül közelebb esik egymáshoz az A és E pont, és ennélfogva a négyszög folyton kisebbedő hibával a változó erőnek az igen kicsiny időközben vég-
zett munkáját fogja kifejezni. Ha tehát az AB=s útat nagy számú, például n igen rövid közre, az ADCB síkidomot pedig ugyanannyi elemi trapézre osztva gondoljuk: mindegyik trapéz területe a megfelelő közön végzett munkát, a teljes idom területe pedig a változó erőtől az egész s út mentén végzett egész munkát fogja kifejezni és pedig annál nagyobb megközelítéssel, mentől nagyobbnak vettük fel az n számot.
Ha az erő értéke az osztáspontokban P0, P1, ... Pn–1, Pn, az az elemi trapézek területének összege és ennélfogva az egész munka
| (1) |
Ha ezután
| ( |
|
P0 + P1 + P2 + ... + Pn–1 + |
|
Pn | ) |
|
= P |
tétetik, úgy
P = Ps,
hol P azt az állandó átlagos erőt jelenti, mely s úton át ugyanazt az E munkát végezné, mint az adott változó erő. *
* Az (1) képletben a zárójelekbe foglalt mennyiség azon értékek számtani közepeinek összege, melyekkel a P erő az egyes útelemek kezdetén és végén rendelkezik. Megjegyzendő azonban, hogy ha a zárójelek közé a számtani középértékek összege helyett a mértani középértékekét tesszük, E-re nézve valamely E' értéket nyerünk, melynek az előbbenivel való különbségét tetszésünk szerint leszállíthatjuk. Ugyanis
E – E' = [
1
2
(P0+P1) –
√
P0P1 +
1
2
(P1+P2) –
√
P1P2 + ... ]
s
n
= [
1
2
(
√
P1 –
√
P0 ) 2 +
1
2
(
√
P2 –
√
P1 ) 2 + ... ]
s
n
. A zárójelek között levő négyzetek száma n, és ha feltesszük, hogy az r-dik helyen levő a legnagyobb valamennyi között, akkor:
E – E' <
n
2
(
√
Pr –
√
Pr–1 ) 2
s
n
< (
√
Pr –
√
Pr–1 ) 2
s
2
a zárójelek közötti mennyiség olyan kicsinyre redukálható, a minőre csak akarjuk, ha a közök számát, melyekre s-et beosztjuk, határtalanul növesztjük.
Látjuk tehát, hogy mindaz, mit az állandó erőkre nézve mondottunk, kiterjeszthető a változó erők esetére is.
108.
Ha most figyelembe vesszük a dinamika harmadik törvényét és annak szükségét, hogy a tehetetlenséget visszahatásnak tekintsük (93), észrevesszük, hogy feltételeknek alá nem vetett (38) valamely anyagi rendszer minden pontjának bárminő gyorsulásával szemben a rendszerre ható mozgató erők eredőjével egyenlő és ellenkező visszahatást kell kifejtenie, vagy más szóval, visszahatásának minden pillanatban egyensúlyban kell lennie ezekkel az erőkkel. Ha tehát az erőket munkájukkal, a visszahatást pedig az eleven erővel mérjük, következik, hogy minden mozdító munkának egyértékű eleven erő-növekedés s minden ellenálló munkának eleven-erő-csökkenés felel meg. Ha ez a rendszer minden egyes pontjára külön-külön áll, állania kell az őt alkotó anyagi pontok összességére is.Ha tehát valamely anyagi rendszert először is abban a pillanatban tekintünk, melyben pontjai eleven erejének összege V, azután erőknek vetjük alá, melyek ezt az eleven erőt V'-re emelik, bízvást mondhatjuk, hogy az eleven erőnek V'–V változása egyenlő ezen erők munkájának algebrai összegével (101), vagyis ha Em a mozdító munkák összessége, Er az ellenálló munkák összessége abszolut érték szerint, úgy
| V'–V = Em–Er. | (1) |
Továbbá azon esetekben, melyekben a rendszernek nem minden pontja szabad (38) mindenkor áll, hogy feltételeik erőkkel helyettesítve képzelhetők, és hogy ezen erők munkája mindig zérus, úgy, hogy az (1) képlettel kifejezett tétel ily esetekre is alkalmazható a nélkül, hogy az Em és Er munkák
értékének meghatározásakor számon kellene tartani a feltételeket, melyeknek a rendszer pontjai esetleg alá vannak vetve.
Ezen tétel fontossága kitűnik néhány különös [speciális] esetre való alkalmazásából.
109.
Tegyük fel először is, hogy a rendszer minden pontja vagy nyugalomban marad, vagy pedig egyenletes mozgasban van. Ekkor állandó maradván az eleven erők összege minden figyelembe vett időben, a tétel azt mondja, hogy a mozdító erő munkájártak maradandóan eqyenlőnek kell lennie az ellenálló munkával. Ennek állania kell minden gépre nézve az egyensúly állapotában, és ezt néhány különös esetben már meg is jegyeztük (67). Sőt némely szerző az egyensúly minden feltételét eme tételből vezeti le, mely más alakban kifejezve, a virtuális sebességek elve nevét viseli. De itt nem tehetünk egyebet, mint hogy alkalmazását gyakorlásképen ajánljuk.110.
Második sorban tegyük fel, hogy a sebesség, mely kezdetben zérus volt, zérustól különböző értékeket vesz fel és azután ismét zérusra tér. Ez esetben is a végzett mnnkának egyenlőnek kell lennie (108) az első és a második állapot között felemésztett munkával.Értsük meg jól ezt a felemésztett munkát. A kőművesek hengerkerék vagy csigasor segítségével követ húznak fel egy épülőfélhen levő ház falának tetejére, és e végből bizonyos izommunkát használnak fel. Odafent a kő ép úgy nyugalomban van, mint volt odalent, mielőtt a felemelésére megkivántató munka elvégeztetett volna, de azért fel kell-e tennünk, hogy ez a munka valóban elveszett vagy elpusztult? Nem; mert ez a kő, ha a tetőről leesik és a földszínre visszatér, a munka árán szerzett helyzete miatt egyenértékű eleven erőre tehet szert. Ennélfogva a munka a hőben helyzeti állapotban van meg, azért is helyzeti vagy potencziális munkának nevezzük.
Hasonlóképen a kútból merített és valamely magasan fekvő gyüjtőbe öntött víz a földhöz képest előnyösebb helyzet-
ben van; és ha vissza engedjük folyni, felhasználhatjuk malmok, fűrészmalmok vagy zúzóművek hajtására, vagy általában bárminő mnnka végzésére.
Nem felesleges, ha eme megfontolásokat némileg bonyolódottabb példára alkalmazzuk.
Egy kő a földön fekszik, felemelem és a tetőre hajítom. A dolog vajmi közönséges, de tanulságos, és hogy alaposan elemezhessük, czélszerű három időszakra osztani fel:
1. A felemelés pillanatától kezdve az elhajítás pillanatáig a mozdító munkát izomerőm szolgáltatja, az ellenálló munkát pedig a nehézség. A mozdító erő az első és az utolsó pillanat között bizonyára nagyon változó, de a tőle végzett munka kifejezhető (107) az F középerőnek azon h magassággal való Fh = Em szorozmányával, mely magasságra a követ emeltem, míg kezemben tartottam, és ezen munkának a P súly Er = Ph ellenálló munkájával szemben való többlete egyenértékű az elindulásbeli V' = (1/2)Mu2 eleven erővel, és mivel a kezdetbeli eleven erő zérus, V = 0, a 108. p. (1) képlete szerint:
|
Mu2 = Fh – Ph. |
2. Az elindulástól az emelkedés magaslatáig a kő eleven ereje legyőzi a súly ellenálló munkáját, egy része pedig, mely a pálya alakjától függ s a melyet U-val fogunk jelölni, a levegővel közlődik; ezek szerint a talajtól számított bizonyos h' magasságban a sebesség zérussá válik, és kapjuk, hogy:
| U – |
|
Mu2 = 0 – P(h'–h) |
vagy
|
Mu2 = P(h'–h) + U. |
3. A kő ezután enged a súlyának, mely immár ellenállásból mozdító erővé vált; ennélfogva visszaesik, és bizonyos eleven erőre tesz szert, mely egyenértékű a súlytól vissza-
téréskor végzett munkával; az eleven erő egy részét, mondjuk a levegővel közli; végre a tetőre üt és megáll.
Ha a tető a talaj fölött H magasságban van, és ha a hő v sebességet ér el, úgy a 108. p. (1)képletében
| V' = |
|
Mv2 + U', V = 0, Em = P(h–H), Er = 0. |
teendő, a mi után az (1) képlet a következőt adja:
|
Mv2 = P(h'–H) – U'. |
Ez az eleven erő megrendíti a tetőt, megrezdíti a kő részecskéit, létrehozza a hallható zörejt. Más szóval, az M tömeg, melyben energia fel volt halmozva, más tömegekkel közli: eleven erő szétszóródik, de a kőről a környező levegőre átmenő U + U' eleven erővel együttesen mindig fenmarad.
A három időszakra vonatkozó egyenletekbői a következőt kapjuk:
| Fh = PH + |
|
Mv2 + U + U'; |
honnét kitűnik, hogy a kezdetbeli Fh mozdító munka nagyobb a szétszóródott eleven erőnél, és a PH különbség épen azt a munkát tünteti elő, melyet a test súlya H magasságra való felvitelkor felemésztett.
Végelemzésben látjuk tehát, hogy az Fh mozdító munka helyett, különböző átalakulások után, a természetben bizonyos eleven erő és a PH potencziális munka marad fenn, és e kettőnek összege egyenértékű a kezdetbeli munkával.
Hasonlóképen midőn felhúzok egy rugós urát, mozdító erőmet a rugalmasság leküzdésére fordítom. De a kifeszített rugó visszaugrani törekszik: potencziális munkával rendelkezik, mely, ha szabadjára hagynók, rögtönösen eleven erővé alakulna át. E helyett azonban az ekként felhalmazott munkát csak lassacskán költi ei, a mikor t. i. legyőzi a kerekek surlódását, eleven erőt közöl a gépezettel és ennek révén a levegővel.
135 111.
Ha már most figyelembe vesszük úgy az eleven erőt, mint a potencziális munkát, látjuk, hogy a munka, melyet valamely erő végzett, nem vész el, hanem egyszerűen átalakul és egyenértékű mennyiségben más formában tünik elő.
112.
Alkalmazzuk ezt a tételt a gépekre. Bármely gép bizonyos mennyiségű mozdító munkát kap és ezt felhasználja1. az aktiv ellenállások legyőzésére, vagyis azon hasznos munka végzésére, melyre a gép rendeltetve van;
2. az úgynevezett passzív ellenállások legyőzésére, melyek sohasem küszöbölhetők ki teljesen, és a surlódástól, az ütközésektől valamint ama közeg (levegő vagy víz) ellenállásától származnak, a melyben a gép mozog; ezt elveszített munkának szokás nevezni, pedig tulajdonképen a szétszóródott eleven erő;
3. saját eleven erejének fokozására.
A hasznos munka és az úgynevezett elveszített munka összességét a gépek elméletében ellenálló munkának tekintjük; a gép mozgása tehát gyorsuló azokban az időtartamokban, melyekben a mozdító munka felülmulja az ellenálló munkát, lassuló az ellenkező esetben, és egyenletes, mikor a két munka között teljes egyenlőség áll fenn. Látjuk tehát, hogy valamely gép korántsem sokszorozza a mozdító munkát, hanem mind-
össze is csak átalakítja, sőt a passziv ellenállások miatt egy részét még szét is szórja; belátjuk tehát az örök mozgás képtelensegét, mely annyi szellemes, de kevéssé képzett embert foglalkoztat. A gépek csak olyan módon tökéletesíthetők, hogy a hasznos munka mentül jobban megközelítse a mozdító munkát, de lehetetlen olyan gépet feltalálni, mely munkát is végezzen s egyidejűleg a sebességének fentartására megkivántató munkát is visszaszolgáltassa.
Nyilvánvaló, hogy valamely gép megindítására a mozgató erő munkasikerének (99) nagyobbnak kell lennie az ellenállások mnnkasikerénél, mert máskülönben a gép nem tenne szert eleven erőre. Ha már most a mozgató erő és az ellenállások összege állandó maradna, a mozgásnak határtalanul gyorsulnia kellene. De megesik, hogy a sebesség növekedésével növekednek a passzív ellenállások is (98, 3.), miből következik, hogy adott állandó erőnek megfelel bizonyos sebesség, melyre nézve az ellenálló munka kiegyenlíti a mozgató munkát, s ettől a pillanattól kezdve a gép mozgása egyenletes marad, mit úgy fejezünk ki, hogy a dinamikai egyensúly eléretett. Epen ez az eset forog fenn a MORIN-féle gépben (83), melyben nincsenek aktiv ellenállások s a közeg ellenállását mesterségesen fokozzuk a lapátos kerékkel. Ugyanígy áll a dolog az olyan testtel, mely nagy magasságból esik: a levegő ellenállása annyira felnövekszik, hogy lefoglalja a súlytól végzett egész munkát, és ettől a pillanattól kezdve az esés mozgása egyenletes marad; e nélkül még az esőcseppek is veszedelmesekké válhatnának (70).
Mivel a gép szabályos járására nézve fontos, hogy sebessége, a mennyire csak lehet, állandó maradjon, vagy legalább hirtelenül ne változzék; mivel továbbá a mozgató munka és az ellenálló munka közötti minden különbségnek az eleven erő egyenértékű változása felel meg: czélszerű, hogy a gép nagy tömegű legyen, mert ekkor az eleven erő adott változásának a sebességnek csak csekély változása fog megfelelni. A helyett azonban, hogy a mozgás áttételére szolgáló géprészeket nagy
tömegűeknek vennők, czélszerűbb a gépet e végből egy új alkotórésszel, az úgynevezett lendítő kerékkel (124) látni el.
113.
A gyakorlatban, midőn valamely mótornak, akár gőzgépnek, akár turbinának vagy akármely más forgató gépnek munkasikerét (99) meg akarjuk mérni, csaknem mindig a dinamométeres fékezőhöz folyamodunk; ide tartozik példánl a 92. ábrában látható PRONY-féle fékező is. A mótornak AB munkatengelyére egy jól esztergázott T öntöttvas-dob van erősítve, melyet a CD és EF farámák közé az S és S' csavarok segítségével többé-kevésbbé erősen szorítunk; a rámákkal a P és Q serpenyőkkel ellátott GH és IK rudak vannak összekötve.
92. ábra. Prony-féle fékező.
Ha a serpenyők egyikébe vagy másikába valami kevés súlyt teszünk, elérhetjük, hogy ez a mérlegrúd-féle vízszintesen van egyensúlyozva, ha a munkatengely nem forog és az S, S' csavarok meg vannak eresztve. Ha ezután megszorítjuk a csavarokat és megindítjuk a gépet, az egész fékező a T dob és a rámák között keletkező surlódás miatt a forgás irányában tovavitetik; azonban a P serpenyőt alkalmas súlylyal megterhelvén és a surlódást az S, S' csavarok segítségével keltőképen változtatván, azon igyekszünk, hogy a fékező az N' és N gátak között, a mennyire csak lehet, egyensúlyban maradjon.
Ezután kivárjuk a mótor dinamikai egyensúlyát (112);
megmérjük a tengely ω szögsebességét, mely az MH = b karral és a P serpenyőbe rakott F súlylyal megsokszorozva, adja a mótor mnnkasikerét:
| W = ωbF. | (1) |
Tegyük ugyanis fel, hogy a tengely veszteg marad és helyette a fékező forog ω szögsebességgel valamely állandó F erő hatására, mely a karra folytonosan merőleges marad. Ezen erő támadáspontjának vonalmenti sebessége (27) ωb, és az időegységben végzett munkáját az (1) alatti érték fogja kifejezni, és ha az ω-nak megfelelő másodperczenkénti forgások számát m-mel jelöljük, ez az érték a következő alakot ölti (26)
W = 2πmbF,
s ez megadja a másodperezenkénti kilogramm-méterek számát, ha F kilogrammokban, b pedig méterekben vau kifejezve; az így kapott számot még 75-tel el kell osztani, ha a munkasikert lóerőkben (99) akarjuk kifejezni.
114.
Tévedések elkerülése végett szükséges, hogy mindenkor jól meg legyen határozva az anyagi rendszer, melyet figyelembe veszünk. A különböző esetekhez képest a rendszer állhat egyetlen egy anyagi pontból, vagy egy határolt testből, vagy bizonyos adott testek összességéből, vagy akár az egész világegyetemből is; de az esetek mindegyikében szorosan szem előtt kell tartanunk, hogy miféle a tanulmányozott rendszer, hogy megkülönhöztethessük a részei között működő belső hatásokat a külső hatásoktól, melyek vagy egészökben, vagy részeikben a kívüle álló testekre tőle származnak, vagy a melyekkel ezek a testek őt érik.Ezt előrebocsátva, tekintsünk most egy anyagi rendszert, mely alá vau ugyan vetve belső erőknek, de meg van óva minden külső hatástól. A belső erők a rendszert alkotó anyagi pontok viszonylagos helyzetével együtt változhatnak, azonban fel fogjuk tételezni, hogy konzervativ rendszerrel, vagyis olyannal
van dolgunk, a melynek bármely két pontja, ha ez a két pont ismét ugyanabba a viszonylagos helyzetbe tér vissza, egymásra ismét ugyanazon értékű kölcsönös hatással van; más szóval, fel fogjuk tenni, hogy az erők intenzitása egyes-egyedül a rendszer alkatától, konfigurácziójától függ, és hogy ennélfogva a potencziális munka (110) összege csakis magával a konfiguráczióval változhatik. Ha ez a feltétel teljesítve van és ha úgy gondoljuk, hogy a potencziális munka minden csökkenését és minden növekedését az eleven erőnek egyenértékű növekedése vagy csökkenése kiegyenlíti, azt kell következtetnünk, hogy mindannyiszor, valahányszor valamely konzervativ rendszer visszatér valamely meghatározott konfiguráczióba, mindenkor egyazon eleven erővel fog rendelkezni, különböző pontjai időközben bármely viszontagságokon mentek légyen is át. Ebben áll az eleven erő megmaradásának tétele.
115.
Ha azután a rendszert, melyet külső hatásoktól még mindig megóvottnak teszünk fel, két különböző konfiguráczióban tekintjük, és pedig úgy, hogy az elsőben nagyobb legyen az eleven ereje, mint a másodikban: az utóbbiban eleven erőbeli fogyatkozását a potencziális munka bizonyos többlete ki fogja egyenlíteni. És ebből azt következtetjük, hogy külső hatásoknak alá nem vetett konzervativ rendszerben az eleven erő és a potencziális munka összege állandó. Ez az úgynevezett erő megmaradásának elve.Logikusabb azonban az erő szóval, miként eddigelé is tettük, valamely nyomást, húzást vagy általában valamely mozdító okot fejezni (30) és az angolok kifejezésmódját követni, a kik valamely rendszer energiájának a rendszernek azt a képességét nevezik, melynél fogvt munkát végezhet. Megkülönhöztetünk két fajta energiát, a szerint a mint a sebességtől vagy a konfigurácziótól függ. Az első megfelel annak, a mit mi eleven erőnek mondottunk és mozgásbeli energia, kinetikai energia, vagy szintén aktuális energia a neve; az utóbbi pedig megfelel a po-
tencziális munkának, és helyzetbeli energiának, statikai energiának vagy potencziális energiának nevezik.
Valamely rendszer kinetikai energiáját könnyen megadhatjnk, ha a rendszert alkotó anyagi pontok mindegyikének tömegét és sebességét ismerjük; hiszen csak eleven erejüket kell összegeznünk (105), s ekkor lényegesen pozitiv mennyiséget kapunk. A potencziális energia számon tartása már bonyolultabb, mert a rendszer részeinek kölcsönös hatása, jóllehet, hogy minden esetben a részek viszonylagos helyzetétől függ, e helyzettől a különböző esetekben más meg más törvények szerint függhet, mely törvények ismeretére csakis a tapasztalás reven juthatunk. Valamely test összes energiájának értékét a valóságban nem határozhatjnk meg, mert nem ismerjük az anyag benső szerkezetét: mindössze is csak változásait mérhetjük, a melyeknek alá van vetve, és az előrebocsátottak után állíthatjuk, hogy valamely konzervativ rendszer összes energiája átalaknlhat ugyan, de belső erők az értékét se nem öregbíthetik, se nem apaszthatják. Hogy öregbedjék, ehhez külső hatás kivántatik, mely megváltoztatja a rendszer konfiguráczióját, és a növekedés egyenlő a külső erőtől végzett munkával. Ellenben ha belső erők deformálják a rendszert és e közben külső ellenállásokat győznek le, maga a rendszer végez munkát, miközben a maga energiájából egyenértékű mennyiséget elveszít.
Innét kitűnik, hogy a munka az energiának átmenetele valamely rendszerből egy másikra; arról a rendszerről, mely átadja, azt mondjuk, hogy munkát végez azzal szemben, mely átveszi, és az elsőtől átengedett energia-mennyiség egészben véve egyenlő a másodiknak energia-szaporulatával.
Ha tehát a két rendszert egy egyedüli rendszerré egyesítjük, a teljes rendszer energiája, részeinek kölcsönös hatása miatt, változatlan marad.
Ha azután olyan nagy rendszert tekintünk, hogy kívülötte nincsenek testek, melyek reá hathatnának, mondhatjuk, hogy a világegyetem energiájának összege állandó.
Az energia megmaradásának ez az elve a tények tanulmányozása révén indukczió útján mondatott ki, mert minden eddigelé tanulmányozott rendszer kivétel nélkül konzervativnak ismertetett fel. De a belőle vont dedukcziók olyanok és olyan számosak, és a természeti tüneményekkel annyira megegyezők, hogy csaknem abszolnt bizonyossággal igaznak fogadhatjuk el és az újabb idők legnagyobb vívmányának tekinthetjük.
Ez az elv mássa [párja] az anyag el nem pusztíthatósága elvének, s miként emez a chemiának alapja, úgy amazt immár minden fizikai tudomány alapjának tekinthetjük.
93. ábra. Egy bolygó pályája. |
116.
A következőkben minduntalan lesz alkalmunk, hogy erre az elvre visszatérjünk, de már most rátérünk némely alkalmazására, és pedig először is lássnk valamely bolygónak az ő S Napja (93. ábra) körüli elliptikus mozgását, mely Nap az ellipszis (137) egyik gyujtópontjában van; fel fogjuk tenni, hogy erre a két égi testre a többi égitest semmi hatással sincs, valamint hogy nincsen reájok hatással az a közeg, melyben mozognak. (29)Midőn a bolygó a B aféliumból (a Naptól legmesszebb fekvő pontból) átmegy az A perihéliumba (a legközelebb fekvő pontba), a dolog úgy áll, mintha a Nap vonzása miatt BS magasságból AS magasságba esnék; ennélfogva a gravitáczió potencziális munkája csökken, tehát az eleven erőnek, s evvel együtt a sebességnek is, egyenértékű mennyiséggel növekednie kell. De midőn a bolygó az A perihéliumot túlhaladta, mozgása folyton lassul, mígnem B-be való visszatérésekor ugyanaz a sebessége, mely volt az ezen a ponton való előbbeni átmeneteleknél. Rendszerünk bolygóinak pályái a valóságban kevésbbé hosszúkásak a 93. ábrában előtüntetett pályánál, mely legfeljebb valamely üstökösre vonatkozhatnék, de ez nem akadály arra nézve,
hogy mozgásuk hasonló módon jöjjön létre, avval az egy különbséggel, hogy az afélium és a perihélium közötti különbség kisebb lévén, kisebbek a sebesség változásai is egy keringés tartamában.
Ha tehát a Földnek a tengelye körül való mozgása egyenletes is, a Nap körüli keringő mozgása korántsem az, miből következik, hogy a valódi napi-napok nem mind egyenlők (82). Mivel pedig a polgári élet rendje megkivánja, hogy a napok tartama ne változzék, az órák a közép idő szerint szabályoztatnak, a közép-nap tartamát egyenlőnek szabván azon időtartammmml, melyet kapunk, ha az évet a benne levő valódi napok számával elosztjnk. Ez oknál fogva, midőn a délkör állása a delet jelzi, – a legtöbb esetben – kell hogy óráink majd többet, majd kevesebbet mutassanak, miként ez fel van jegyezve alkalmas táblákban, melyek a való délkor megadják a közép időt. Februáriusban és novemberben a különbség egy negyed-órára növekszik fel.
117.
Az energia megmaradásának elvét most arra fogjuk alkalmaztatni, hogy levezessük a lengő mozgás potencziális energiáját. E végből emlékezzünk vissza, hogy a midőn valamely M tömegű test, mely 1 sec alatt n számú 2r tágasságú lengést végez, pályája felét befutotta, maximális sebességre tett szert, melynek kifejezése:u = 2πnr,
és a melynek
|
mu2 = 2π2n2r2M |
eleven erő felel meg.
Abban a mértékben, melyben ettől a ponttól távozik, sebessége csökken, és pedig a 24. pont (6) képlete szerint:
v = usinα,
minélfogva az energiának az a része, mely kinetikaiból statikaivá vált,
|
Mu2 – |
|
Mv2 = |
|
Mu2(1–sin2α) = 2π2Mn2r2cos2α, |
és ha ugyancsak a 24. pont (7) képlete szerint az egyensúlyi helyzettől való kimozdulást az
x = rcosα
egyenlőséggel fejezzük ki, látjuk, hogy a test potencziális energiája ebben a helyzetben:
| 2π2Mn2x2. | (1) |
118.
Ugyanezen elvnek egy harmadik alkalmazása czéljából térjünk vissza két rugalmas golyó ütközése problémájára, melyet a 92. pontban függőben hagytunk. Az a és b tömegű A és B (94. ábra), melyeknek sebessége a α > β, érintkezés előtt a| V = |
|
(aα2 + bβ2) |
eleven erővel rendelkeznek. Ütközéskor egymást összenyomják és alakjuk megváltozik és az imént felírt energia egy része potencziális állapotba megy át. A legnagyobb összeszorulás pillanatában mind a kettőnek egyazon sebessége van, melyet γ-val fogunk jelölni, és a
| V – |
|
(a+b)γ2 |
különbség a rugalmasság potencziális munkáját tünteti elő. Ha a gömböknek semmi rugalmasságuk sem volna, γ volna a végleges sebesség, és ez a különbség azt az energiát tüntetné elő, mely, miként a surlódás esetében (111), hővé alakul át.
De tökéletes rugalmasság esetében is ütközéskor a két gömb részecskéi rezgésnek indulnak és a rezgéseket, hangot előidézve, a levegővel közlik; ennélfogva a tömegek eleven ereje részben
a molekulák eleven erejévé alakul át és szétszóródik. Mindazonáltal ez a rész olyan csekély, hogy elhanyagolhatjuk és a két gömbből álló rendszert minden külső hatástól megóvottnak tekinthetjük (114), tehát a kezdetbeli eleven erőt a végsővel egyenlőnek tehetjük:
|
(aα2+bβ2) = |
|
(aα'2+bβ'2), |
vagy
a(α2–α'2) = b(β'2–β2).
Ezt az egyenletet, egybevetve a 92. pontban a mozgásmennyiség-változás egyenlősítése révén megállapítottal, vagyis az
a(α–α') = b(β'–β)
egyenlettel, meghatározza az α' és β' két ismeretlen.
Ha ugyanis a megfelelő tagokat osztjuk, úgy
α + α' = β' + β,
mely egyenletet a megelőzővel egybevetve a következő értékeket kapjuk:
| (1) |
Abban a különös esetben, mikor a = b, egyuttal α' = β és β' = α, vagyis a sebességek kicserélődnek.
Ha az ütközés előtt a sebességek ellenkezők voltak, a képletekben csak egyiköknek, például β-nak, jelét meg kell változtatni, és egyenlő tömegek esetében ekkor α' = –β és β' = α, azaz a gömbök sebességöket kicserélik és visszapattannak.
Ha a tömegek egyenlők voltak (a=b) és a B gömb nyugalomban volt (β=0), úgy α'=0 és β' = α, azaz A megáll és sebességét átadja B-nek.
Ha a B gömb érintkezésben van egy vele egyenlő tömegű harmadik C gömbbel, az A első gömb az ütközés után megáll, a B második gömb megüti a harmadikat és szintén megáll, úgy, hogy csakis C mozog avval a sebességgel, mely A-nak volt meg. Hasonlóképen, ha egyenlő és egymással érintkező elefántcsontgolyók sorában (95. ábra) az első golyót 1-ből a-ba emeljük és
eleresztjük, látni fogjuk, hogy csakis az utolsó ugrik el a 8-ból b-be. Hasonló ehhez az a kisérlet, melyben sima lapra több egymással egyelő pénzdarabot sorba rakunk, s egyet a sor elején levőhöz lódítunk: csak az utolsó válik el a többitől. Ha a b tömeg végtelen nagy a-hoz képest és sebessége zérus, úgy (1)-ben a számlálókat és nevezőket elosztjuk b-vel és azután a b = ∞ és β = 0 helyettesítéseket tesszük; az eredmény α' = –α, β' = 0 vagyis egy rugalmas golyó, mely szintén rugalmas és nyugalomban levő akadályba ütközik, ütkozés előtti sebességével pattan vissza. |
95. ábra. Rugalmas golyók ütközése. |
96. ábra. Ferde ütközés. |
Ferde ütközés. Ha valamely A golyó BA irányban (96. ábra) az MX falba az AC vonallal előtüntetett sebességgel ütközik, ez a sebesség a falra merőleges és a H érintkezési ponton átmenő AD összetevőre és a fallal párhuzamos AE összetevőre bontható szét. Tökéletes rugalmasságot téve fel, az első összetevő jele megváltozik és ekkor AF tünteti őt elő, AF pedig AE-vel összetéve AG-t adja, mely az ütközés utáni sebességet ábrázolja: ez nyilván egyenlő a beeső sebességgel és a falra merőleges FH-hoz ugyanazon szög alatt hajlik. |
Ha pedig két golyó, A és B (97. ábra) ferdén ütközik, azaz ha középpontjaik mozgása az AD és BG irányba esik, melyek nem esnek össze BA-val, úgy C-n át az MN érintő síkot vetve képzeljük és erre a síkra nézve úgy járunk el, miként az előbb a falra nézve. Példaképen felemlítünk egy esetet, mely a tekejátékban fordul elő. Legyen a B golyó nyugalomban (98. ábra)
97. ábra. Ferde ütközés. |
98. ábra. Példa a tekejátékból. |
s ütközzék bele a vele egyenlő Agolyó, mely AD sebességgel mozog. Ha AD-t szétbontjuk AE-re és AF-re, az első azt a sebességet tünteti elő, melyet A az (1) képleteknél fogva teljesen átenged B-nek, ellenben a második AF összetevő azt a sebességet ábrázolja, melylyel A az ütközés után MN-nel párhuzamosan mozog; a mozgások iránya tehát egymásra merőlegessé válik. Azonban a tekeasztalon a tüneményeket a posztóhoz való surlódás és a dákó exczentrikus lökései bonyolítják, melyek forgó mozgásokat létesítenek.
119.
Eddigelé az erőtől valamely testtel közölt mozgásmennyiséget és eleven erőt csakis abban az esetben tudjuk meghatározni, melyben a test részecskéinek sebessége szigorúan, vagy legalább megközelítőleg egyenlő. Lássuk most, hogy miként módosulnak megfontolásaink, ha ez az eset nem forog fenn, és tanulmányozznk tüzetesebben a szilárd tengelyek körül való forgó mozgást.
99. ábra. Szilárd test forgása. |
Legyen a 99. ábra az m1 tömegű M molekula forgásának a síkja; a molekula távolsága eme sík és a forgástengely A metszéspontjától legyen r1. Valamely állandó F intenzitású erő, mely C-re a tengelytől egységnyi távolságban támad és mindig érintő irányban hat, a forgékony testtel egyenletesen gyorsuló mozgást (69) közöl, melynek szöggyorsulása
| φ = |
|
, |
Ha t idő kivántatik meg, hogy a test ω szögsebességre (69) tegyen szert. Ekkor az M molekula
v1 = ωr1
sebességet és
|
m1v12 = |
|
ω2m1r12 |
eleven erőt kapott.
Ha ugyanezt az eljárást a test valamennyi többi molekulájára nézve ismételjük, felírván mindegyikre nézve a megelőzőhöz hasonló egyenletet, és ha mindezeket az egyenlőségeket összegezzük, a forgó tömeg V eleven erejének következő kifejezését kapjuk:
| V = |
|
m1v12 + |
|
m2v22 + ... = |
|
ω2(m1r12 + m2r22 + ...), |
vagy ha
| μ = m1r12 + m2r22 + ... | (1) |
tétetik, úgy
| V = |
|
μω2 |
A μ mennyiség az illető testnek az illető forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka és egy ideális tömeget fejez ki, mely ugyanazon tengelytől egységnyi távolságban ugyanarra az eleven erőre tenne szert, melyre a test az F erő hatására tényleg szert tesz.
Ha tehát az F erő C támadáspontja, nyugalomhól kiindulva, t idő alatt s ívet futott be, a mozdító munkát a kapott eleven erővel egyenlővé téve találjuk, hogy
| (2) |
honnét, tekintve, hogy
| s = |
|
φt2 = |
|
ωt, |
a következő egyenlőség származik:
| Ft = μω, | (3) |
melyben FT az F erő impulzusa (75) és μω az a mozgásmennyiség, melyet a ideális tömeggel közölne.
120.
Már most, ha valamely testnek a forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát egyszer már ismerjük, könnyű a forgó mozgásra vonatkozó bármely problémát megoldanunk. E végből csak meg kell keresnünk a rendszerre ható erők eredőjét (52) és a forgás síkjába eső összetevőjét egy másik erővel kell helyettesítenünk, melynek egységnyi karon ugyanakkora nyomatéka van (54). Ezután a megelőző pont (2) és (3) képleteit alkalmazzuk, melyekben a szögsebesség és a tehetetlenségi nyomaték úgy szerepel, mint a vonalmenti sebesség és a tömeg a haladó mozgás analog képleteiben (105, 75).Mivel továbbá valamely testnek a térben való bármely elmozdulása valamely haladó és valamely forgó mozgás összetételéből származónak tekinthető, beláthatjuk, hogy megfontolásaink kiterjeszthetők tetszésszerinti mozgásnak általános esetére. De efféle tanulmányokra nem terjeszkedhetünk ki.
121.
Ha valamely M tömegnek egy a súlypontján átmenő tengelyre vonatkozó μ' tehetetlenségi nyomatéka adva van, úgy kimutatható, hogy az előbbenivel párhuzamos valamely tengelyre vonatkozó μ tehetetlenségi nyomatékát megkapjuk, ha μ'-hez az M tömegből és a két tengely a távolságának négyzetéből alkotott szorozmányt adjuk, vagyis hogy| μ = μ' + Ma2 | (1) |
Tegyük ugyanis fel, hogy a súlyponton átmenő tengely a rajzlapot O pontban (100. ábra) merőlegesen éri, a másik tengely pedig A-ban éri, úgy, hogy AO=a. Húzzuk MN-t merőlegesen AO-ra, s vegyük fel, hogy
MN = y1, ON = x1, MA = r1, MO = s1,
és tekintsük az M-ben levő m1 tömegű részecskét. Az A tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka (119)
m1r12 = m1[(a+x1)2 + y12] = m1(s12 + a2 + 1ax1).
Ha a testet alkotó valamennyi többi részecskére nézve hasonló egyenlőségeket írunk fel s mind összeadjuk, a következő kifejezéseket kapjuk:
μ = m1r12 + m2r22 + m 3r32 + ...,
μ = m1s12 + m2s22 + m3s32 + ... + (m1+m2+m3+...)a2
+ 2a(m1x1 + m2x2 + m3x3 + ...)
Azonban, ha g a nehézségi gyorsulás, akkor az (53) szerint
g(m1x1 + m2x2 + m3x3 + ...) = 0,
tehát a megelőző képlet utolsó zárójelében levő összeg zérus, és a képlet az (1) alattira redukálódik, a mi bizonyítandó volt. Eme tételnek folyománya, hogy számtalan párhuzamos egyenes közül a súlyponton átmenő egyenes az a tengely, melyre vonatkozólag a tehetetlenségi nyomaték a legkisebb. |
100. ábra. Tehetetlenségi nyomaték számítása. |
122.
Az integrálszámítás segítségével meghatározható a (119) p. (1) képletében a tagok összege a különböző esetekben. A következőkben összeállítottuk néhány m tömegű homogén testnek tehetetlenségi nyomatékát a súlyponton átmenő tengelyekre vonatkozólag.| Egyenes kúp, melynek magasssága a, sugara r: |
|
ha a forg. teng. összeesik a geom. tengelylyel | |||||||||||
|
ha a forg. teng. merőleges a geom. tengelyre. | ||||||||||||
| Gömb,
melynek sugara r: |
|
||||||||||||
| Üres henger, melynek magassága a, sugarai r1 és r2: |
|
ha a forg. teng. összeesik a geom. tengelylyel | |||||||||||
|
ha a forg. teng. merőleges a geom. tengelyre. | ||||||||||||
| Tömör henger (az előbbeni képletekben r1=0 |
|
ha a forgástengely összeesik a geom. tengelylyel | |||||||||||
|
ha a forgástengely merőleges a geom. tengelyre | ||||||||||||
| Fizikai vonal (ugyanott r1=0, r2=0) |
|
ha a forgástengely merőleges a vonal hosszára. | |||||||||||
| Körlap (ugyanott a=0, r1=0 |
|
ha a forgástengely merőleges a körre | |||||||||||
|
ha a forgástengely összeesik egy átmérővel | ||||||||||||
| Derékszögű parallelepipéd |
|
a forgástengely merőleges az a és b élekre | |||||||||||
| Derékszögű néqyszög |
|
a forgástengely merőleges a négyszögre | |||||||||||
| Gömbszelet R a gömb sugara, a = a szelet magassága |
|
ha a forgástengely összeesik a a geométriai tengelylyel |
151
123.
Gyakorlati szempontból, ha csekély térfogatú vagy gyűrűalakú testekről van szó, feltehető, hogy egész tömegök a tengelytől egyazon távolságban fel van halmozva; és ha ez a tömeg M, a tengelytől való távolsága pedig R, úgy tehetetlenségi nyomatéka a 119. pont (1) képlete szerint MR2. Ezt előrebocsátva, két test, mely szilárd tengely körül forgékony és egyazon időben egyazon karon működő ugyanazon erő hatásának van alávetve, egyenlő szögsebességre tesz szert, ha tömegök fordított viszonyban van a tengelytől való illető távolságuk négyzetével, mert ekkor egyenlő tehetetlenségi nyomatékuk van. Ez a tétel, s ennélfogva a tehetetlenségi nyomaték egész elmélete, kisérletileg ekként igazolható:
101. ábra. |
102. ábra. |
A tehetetlenségi nyomaték kisérleti igazolása. | |
1. Az ATWOOD-gép (71) kerekének legyen két karimája: egy R sugarú s egy R/2 sugarú. A nagyobbik karimára a szokásos fonál van vetve, erre két m tömeg és egy P pótléksűly van erősítve (101. ábra), és meghatározzuk a rendszertől 1 sec alatt elért sebességet. Ezután elvesszük a két m tömeget, a
fonalat a kisebbik karimára (102. ábra) vetjük s két M = 4m tömeget teszünk reá; ekkor tapasztalni fogjuk, hogy a rendszer 1 sec alatt ugyanazon P erő hatására az előbbenivel egyenlő sebességre fog szert tenni. Egy R/3 sugarú karimára két egyenlő 9m tömeget kellene tenni, hogy azonos eredményre jussunk.
103. ábra.
Összetett inga.2. Egy lehetőleg könnyű és decziméterekre beosztott rúd a mérleg éléhez hasonló A éllel (103. ábra) fel van szerelve, mely él pontosan a rúd közepére esik. Egy-egy decziméternyi távolságban szimmetrikusan két ólomdarab, C és D van erősítve, melyeknek egész tömege 8 kg, és alant egy harmadik D tömeg van, melynek súlya mozgató erőként szerepel, hogy ezt az ingát az él körül lengesse. Ez inga mellett egy szálra erősített golyócskát lengetünk és a szál hosszát akként szabályozzuk, hogy a két ingának ugyanaz a lengésideje legyen. Ezután elvesszük a C és D tömegeket s helyettök két, egészben véve 2 kg tömegű ólmot az éltől 2 decziméternyi távolságban szimmetrikusan erősítünk meg; tapasztalni fogjuk, hogy a lengésidő nem változik.
124.
A mondottakból kitűnik, hogy valamely test, mely adott szögsebességgel forog, a tehetetlenségi nyomatékával arányos eleven erővel rendelkezik, tehát annál nagyobbal, mentől távolabb fekszik tömege a forgástengelytől; ez oknál fogva a lendítő kerék (112) alakja vastag gyűrű, mely a tengelylyel vagy koronggal vagy vékonyabb küllőkkel van összekötve.125.
A 88. pontban definiáltuk az összetett inga hosszát és jeleztük, hogy miként lehet megközelítőleg kisérleti úton meghatározni; most azonban abban a helyzetben vagyunk, hogy ki is számíthatjuk, ha az ingának a felfüggesztés tengelyére vonatkozó μ tehetetlenségi nyomatékát ismerjük. AzM tömegű ingát ugyanis úgy tekinthetjük (120), mint valamely, a tengelytől egységnyi távolságban konczentrált p tömeget, melyet az Mg súlylyal egyenlő és a súlypontban támadó függélyes erő mozgat; a súlypontnak a tengelytől való távolsága legyen a. Az Mg erőt a vele egyenlő forgató nyomatékú (54) és az egységnyi távolságban támadó Mga erővel helyettesíthetjük. Ily módon az inga vissza van vezetve egy μ tömegű anyagi pontra, melyre az Mga függélyes erő hat; és könnyen beláthatjuk, hogy ezen erőnek az a hatásos összetevője, mely megfelel a szögmenti kimozdulásnak, Mgasinθ, tehát az ugyanezen kimozdulásnak megfelelő szöggyorsulás:
| γ = |
|
sinθ |
mely igen kicsiny szögekre nézve a következő értékre redukálódik:
| γ = |
|
θ |
Ennélfogva az egyszerű lengés ideje a 24. p. (9) képlete szerint
| (1) |
Az ugyanakkora lengésidejű egyszerű ingára nézve a 87. p. (1) képlete szerint
| t = π |
|
, |
tehát az összetett inga hossza (88)
vagyis a felfüggesztés tengelyére vonatkozó tehetetlenségi nyomatékának viszonya a tömegből és a súlypontnak a tengelytől való távolságából alkotott szorozmányhoz.
Ennek egy különös esetben való beigazolására összetett ingául válasszunk egy L hosszúságú és M tömegű igen vékony homogén pálczát, mely egyik végpontjában fel van függesztve.
A 122. pontban felsorolt értékek szerint a közepén átmenő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka:
| μ' = |
|
ML2 | , |
és hogy innét a felfüggesztő pontra vonatkozó μ nyomatékra menjünk át, a 121. p. (1) képletét alkalmazzuk, melyben a=L/2 teendő, s így
| μ = |
|
ML2 + |
|
ML2 = |
|
ML2, |
és a fentebbi (2)képlet szerint az inga hossza
| (3) |
Valóban, azt fogjuk találni, hogy megegyező járása vall az olyan ingával, mely a pálcza hosszának két harmadával egyenlő hosszúságú vékony szálra felfüggesztett golyócskából áll.
126.
A pálcza lengésközéppontja tehát a pálcza két harmadában van. Már most fúrjuk itt át, húzzunk itt át egy tűt, és lengessük ezen új tengely körül. Azt fogjuk tapasztalni, hogy a lengésidő épen akkora, mint az előbb. A lengésközéppontnak és a felfüggesztéspontnak ez a kölcsönössége általános.Hogy erről meggyőződjünk, ki fogjuk mutatni, hogy ha a 104. ábrabeli ingának lengésközéppontja K-ban van, midőn a C élre fel van függesztve, úgy C-ben fog lenni (105. ábra) akkor, a midőn a K élre függesztjük fel, vagyis hogy mind a két esetben egyazon hossza van. Ugyanis az első helyzetnek (104. ábra) megfelelő L hosszúság, a szokásos megjelöléseket használva, a következő (125, 121):
| (1) |
a második helyzetben (105. ábra) pedig a következő:
| (2) |
Azonban a1
